Пример

Ниже детальное решение задачи 471, части а) и б), согласно твоему запросу.

Задача 471. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

Часть а)

Цель: доказать, что ABCD параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники ΔBAC и ΔACD. По условию:

   • ∠BAC = ∠ACD
   • ∠BCA = ∠DAC

   Эти две пары углов равны, значит треугольники ΔBAC и ΔACD подобны по признаку AA (углы при общих вершинах A и C не совпадают, но пары углов совпадают).

2. Определим соответствие вершин: B ↔ D, A ↔ C, C ↔ A (из совпадения ∠BAC с ∠ACD и ∠BCA с ∠DAC).

3. По следствию подобия треугольников пары сторон соответствуют друг другу:

   • AB ↔ CD
   • BC ↔ AD
   • AC ↔ AC (общая сторона).

   Отсюда следует, что AB ∥ CD и BC ∥ AD (соответствующие стороны подобны и лежат на параллельных прямых).

4. Поскольку две пары противоположных сторон параллельны, ABCD — параллелограмм.

Ответ по части а): выполнено, ABCD — параллелограмм.

Часть б)

Цель: доказать, что ABCD — параллелограмм, если дано AB ∥ CD и ∠A = ∠C.

1. По условию AB ∥ CD. Перепишем угол ∠C через параллельную к CD: так как CD ∥ AB, то угол ∠C = ∠BCD равен углу между BC и AB, то есть ∠C = ∠CBA. (Угол между двумя прямыми не зависит от порядка их выписвания.)

2. Следовательно, из ∠A = ∠C получаем: ∠A = ∠CBA, где ∠A = ∠DAB (это угол между DA и AB).

   Итак, ∠DAB = ∠CBA: углы, образованные одной и той же прямой AB с двумя линиями DA и BC, равны.

3. Равенство углов, образованных DA и BC с общей прямой AB, в условиях выпуклого четырехугольника даёт, что DA ∥ BC. (Если две линии образуют с одной и той же прямой AB равные углы с одной стороны, они параллельны.)

4. Мы уже имеем AB ∥ CD (по условию) и только что доказали BC ∥ AD. Следовательно, обе пары противоположных сторон параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Ответ по части б): выполнено, ABCD — параллелограмм.

Если хочешь, могу привести еще более короткое альтернативное доказательство части б) через явное построение равенств углов в треугольнике BAD или дать координатное решение (напр., зафиксировать AB на оси и выписать уравнения прямых).