Sin B=AC/AB

Задача: sin B = AC/AB. Предмет: Геометрия, класс 9. Цель: Понять. Расставим обозначения: - В треугольнике ABC стороны обозначим так: a = BC, b = CA, c = AB. - Тогда AC = b, AB = c. Условие записано как sin(B) = AC/AB = b/c. Два пути решения. Способ 1. Интуитивно через определение синуса в прямоугольном треугольнике (первая часть идеи) - В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащей к гипотенузе. - Если треугольник ABC прямой в C (то есть угол C = 90°), то гипотенуза — AB, противолежащая сторона к углу B — AC. Тогда sin B = AC/AB = b/c — ровно то, что дано. - Следовательно, если равенство sin B = AC/AB выполняется в треугольнике ABC, можно заключить, что AB является гипотенузой, а следовательно угол C равен 90°. То есть треугольник ABC прямоугольный в C. Способ 2. Формально через Закон синусов (более строгий аргумент) - По Закону синусов для произвольного треугольника: b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. - Отсюда b = 2R sin B и c = 2R sin C. - Подставим в условие sin B = b/c: sin B = (2R sin B) / (2R sin C) = sin B / sin C. - Умножим обе стороны на sin C: sin B · sin C = sin B. - Если треугольник не вырожден, то sin B ≠ 0 (B не равен 0° и не 180°), следовательно делим на sin B и получаем sin C = 1. - Значит C = 90°. - Таким образом, треугольник прямоугольный в C, AB — гипотенуза, и sin B действительно равно AC/AB. Вывод - Уравнение sin B = AC/AB эквивалентно утверждению, что треугольник ABC прямоугольный в C (C = 90°), а AB — его гипотенуза. - В таком треугольнике sin B действительно равняется отношению AC к AB: sin B = AC/AB. Краткий проверочный пример - Пусть треугольник прямоугольный в C, например B = 30°, A = 60°. Тогда sin B = 1/2. - Противолежащая к B сторона — AC; гипотенуза — AB. В 30-60-90 треугольнике отношение противоположной к гипотенузе равно 1/2, то есть AC/AB = 1/2. Совпадает с sin B.