трапеция ABCD - основание AD вдвое большее основание BC и вдвое больше боковой стороны CD угол adc равен 60°, сторона AB равна двум Найдите площадь трапеции
Дано трапецию ABCD, где:
- AD и BC — основания (AD ∥ BC),
- AD = 2·BC,
- AD = 2·CD (следовательно, CD = BC),
- угол ADC = 60°,
- AB = 2. Нужно найти площадь трапеции.
Обозначения:
- Пусть BC = b. Тогда AD = 2b и CD = b.
- Положим B = (0, 0), C = (b, 0). Поскольку основания параллельны и лежат на горизонтальной линии, верхнее основание AD имеет координаты A = (x_A, h), D = (x_D, h) с высотой h.
- Так как AD = 2b, значит расстояние между A и D по оси x равно 2b: x_A = x_D − 2b.
Пусть D = (x, h) и A = (x − 2b, h).
- Угол ADC = 60° задаёт отношение векторов DA и DC:
- DA = A − D = (−2b, 0),
- DC = C − D = (b − x, −h).
cos(∠ADC) = (DA · DC) / (|DA||DC|) = [(-2b)(b − x)] / (2b · CD). Так как CD = b, получаем: cos 60° = (x − b) / b = 1/2 → x = 3b/2.
AB = 2 даёт связь высоты h и b. Координаты точки A: A = (x − 2b, h) = (3b/2 − 2b, h) = (−b/2, h). Дистанция AB между A(−b/2, h) и B(0, 0): AB^2 = (−b/2 − 0)^2 + (h − 0)^2 = b^2/4 + h^2 = 4. Значит h^2 = 4 − b^2/4. (Уравнение 1)
CD = b даёт ещё одно уравнение. Координаты C(b, 0) и D(3b/2, h): CD^2 = (b − 3b/2)^2 + (0 − h)^2 = (−b/2)^2 + h^2 = b^2/4 + h^2. Но CD = b, значит: b^2 = b^2/4 + h^2 → h^2 = 3b^2/4. (Уравнение 2)
Сравнивая уравнения 1 и 2: 4 − b^2/4 = 3b^2/4 → 4 = b^2 → b = 2 (положительное).
Тогда h^2 = 3b^2/4 = 3·4/4 = 3, следовательно h = √3.
- Площадь трапеции: S = ((AD + BC) / 2) · h = ((2b + b) / 2) · h = (3b/2) · h. С b = 2 и h = √3 получаем: S = (3·2/2) · √3 = 3√3.
Ответ: площадь трапеции равна 3√3.
