Реши номер 9

Задача 9: В треугольнике ABC прямоугольном в C, ∠B = 30°, AB = 36 см. Проведена высота CH к гипотенузе AB (точка H на AB). Найти HB.

Разбор и решение:

• Так как ∠C = 90°, ∠B = 30°, значит треугольник ABC — прямоугольный с углами 30°, 60°, 90°.
• Гипотенуза AB = 36 см. В таком треугольнике сторона, противоположная 30°, равна половине гипотенузы. Сторона AC противоположна углу B (30°), значит AC = AB/2 = 18 см.
• Сторона BC противоположна углу A (60°): BC = AC · √3 = 18√3 см. Либо BC = AB · cos 30° = 36 · (√3/2) = 18√3 см.
• Свойство высоты к гипотенузе: AH = AC^2 / AB и HB = BC^2 / AB. (Доказано через подобные треугольники ACH ∼ ABC и BCH ∼ CBA.)
• Вычислим HB: HB = BC^2 / AB = (18√3)^2 / 36 = (324 · 3) / 36 = 972 / 36 = 27 см.

Ответ: HB = 27 см. (Также AH = AB − HB = 9 см.)