Бесектрисса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BCв точке K. Найдите периметр этого параллелограмма,если BK=15см,KC=9см
Задача: в параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Известны BK = 15 см и KC = 9 см. Найдите периметр параллелограмма.
Пошаговое решение:
- Обозначим стороны параллелограмма:
- AB = a
- BC = b
Так как параллелограмм, AD = BC = b, CD = AB = a. Периметр P = 2(a + b).
- Введём удобную систему координат:
- A в начале: A = (0, 0)
- AB направлена вдоль оси x, B = (a, 0)
- AD имеет длину b и вектор AD = (u, v), тогда D = (u, v), C = B + AD = (a + u, v)
Биссектриса угла BAD (угол A параллелограмма) имеет направление, равное сумме единичных векторов по сторонам AB и AD. Единичный вектор по AB: (1, 0). Единичный по AD: (u/b, v/b). Следовательно, направление биссектрисы — w = (1 + u/b, v/b). Путь биссектрисы AK можно записать как A + s·w.
Пересечение с BC:
- Любая точка на BC имеет вид B + t·AD = (a + t u, t v), с t ∈ [0, 1].
- Точка K на биссектрисе имеет координаты (s(1 + u/b), s(v/b)).
Приравниваем координаты:
- s(1 + u/b) = a + t u
- s(v/b) = t v
Из второго уравнения, если v ≠ 0, имеем t = s/b. Подставим в первое: s(1 + u/b) = a + (s/b)·u lHS = s + s·u/b, RHS = a + s·u/b → s = a.
Тогда t = a/b. Это значит, что BK = t·BC = (a/b)·b = a. То BK равно AB.
По условию BK = 15 см, значит AB = a = 15 см. Длина BC равна b = BK + KC = 15 + 9 = 24 см. Тогда AD = BC = 24 см.
Периметр параллелограмма: P = 2(a + b) = 2(15 + 24) = 2 · 39 = 78 см.
Ответ: 78 см.
