записать в виде обыкновенной дроби 0,2(35)

Задача: записать 0,2(35) в виде обыкновенной дроби.

Расшифровка: 0,2(35) значит 0,2353535..., то есть после запятой одна неповторяющая цифра 2, а затем повторяющаяся блок “35”.

Метод 1 (алгебраический):

1. Обозначим x = 0,2(35) = 0,2353535...
2. Поскольку повторение длиной 2, умножим на 100: 100x = 23,5353535...
3. Вычтем оригинал: 100x − x = 99x = 23,5353535... − 0,2353535... = 23,3
4. Отсюда x = 23,3 / 99. Поскольку 23,3 = 233/10, получаем x = (233/10) / 99 = 233 / 990.
5. Число 233 простое относительно множителей 990 (990 = 2·3²·5·11), поэтому дробь можно оставить как 233/990.

Метод 2 (формула разложения): x = 0.(неповторяющая часть) (повторяющаяся часть) k = количество неповторяющихся цифр после запятой = 1 m = длина повторяющейся части = 2 x = (рубежные цифры до полного цикла − цифры неповторяющей части) / (10^{k+m} − 10^k) Цифры до полного цикла: 235, неповторяющая часть: 2 → 235 − 2 = 233 Деноминатор: 10^{3} − 10^{1} = 1000 − 10 = 990 x = 233 / 990

Итог: 0,2(35) = 233/990.