острый угол В прямоугольного треугольника АВС равен 19 °. найдите величину угла между биссектрисой СD и медианой СМ проведёнными из вершины прямого угла С.

Постановка и идея решения

• В треугольнике ABC угол C равен 90°. Следовательно, сумма острых углов A и B равна 90°. Дано B = 19°, значит A = 90° − 19° = 71°.
• От вершины C опущены две линии к стороне AB: CD — биссектриса угла C (делит 90° на два по 45°), а CM — медиана, проведённая к гипотенузе AB (M — середина AB). Нужно найти угол между этими двумя линиями, т.е. ∠DCM.

Решение с использованием координат

1. Поместим C в начало координат. Пусть CA лежит вдоль положительной оси x, CB — вдоль положительной оси y. Тогда A = (a, 0), B = (0, b) где a > 0, b > 0.
2. Точка M — середина AB: M = ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).
3. Угол наклона CM к оси x: slope CM = (b/2) / (a/2) = b/a. Значит направление CM образует с осью x угол θ_CM, где tan θ_CM = b/a.
4. По отношению к треугольнику: tan A = BC/AC = b/a. Поэтому θ_CM = arctan(b/a) = A = 71°.
5. Линия CD — биссектора угла C, который равен 90°. Следовательно, ∠DCA = 45°, то есть направление CD образует с осью x угол 45°.
6. Угол между CM и CD равен разности их направлений: ∠DCM = θ_CM − 45° = 71° − 45° = 26°.

Ответ: 26°.