Координата кубика массой m = 200 г, совершающего гармонические колебания вдоль оси Ох, изменяется по закону: х(t) = Acos(Bt), где А = 50 см, B = Пи/3 рад/Определите: а) модуль…

Ниже подробное решение задачи по гармоническим колебаниям.

Дано:

• x(t) = A cos(B t)
• A = 50 см = 0.50 м
• B = π/3 рад/с (это угловая частота ω)
• масса m = 200 г = 0.20 кг

1. Скорость и ускорение

• v(t) = dx/dt = -A B sin(B t)
• a(t) = dv/dt = -A B^2 cos(B t)

Модули максимумов достигаются, когда синус и косинус равны ±1 или 0 соответственно:

• максимальная скорость: |v|_max = A B
• максимальная ускорение: |a|_max = A B^2

Численно:

• B = π/3 рад/с, A = 0.50 м
• v_max = A B = 0.50 ⋅ (π/3) = π/6 ≈ 0.5236 м/с
• a_max = A B^2 = 0.50 ⋅ (π/3)^2 = 0.50 ⋅ (π^2/9) = π^2/18 ≈ 0.5483 м/с^2

2. Сила, действующая на кубик

• Максимальная сила F_max = m a_max
• F_max = 0.20 кг ⋅ 0.5483 м/с^2 ≈ 0.1097 Н ≈ 0.110 Н

Вычисление в виде точного выражения:

• F_max = m A B^2 = 0.20 ⋅ 0.50 ⋅ (π/3)^2 = (π^2)/90 ≈ 0.1097 Н

3. Максимальная кинетическая энергия

• KE = (1/2) m v^2
• Максимальная KE при v = v_max: KE_max = (1/2) m (v_max)^2 = (1/2) m (A^2 B^2)

Численно:

• v_max^2 = (π/6)^2 = π^2/36
• KE_max = (1/2) ⋅ 0.20 ⋅ (0.50^2) ⋅ (π/3)^2 = 0.10 ⋅ 0.25 ⋅ (π^2/9) = π^2/360 ≈ 0.0274 Дж

4. Максимальный импульс

• p = m v
• p_max = m v_max = 0.20 ⋅ 0.5236 ≈ 0.1047 кг·м/с

В точной форме:

• v_max = A B = π/6, поэтому p_max = m A B = 0.20 ⋅ 0.50 ⋅ (π/3) = π/30 ≈ 0.1047 кг·м/с

Коротко резюмируя ответы:

• a) максимальная скорость: v_max = π/6 ≈ 0.524 м/с
• b) максимальное ускорение: a_max = π^2/18 ≈ 0.548 м/с^2
• в) максимальная сила: F_max = m a_max = π^2/90 ≈ 0.110 Н
• г) максимальная кинетическая энергия: KE_max = π^2/360 ≈ 0.0274 Дж
• д) максимальный импульс: p_max = π/30 ≈ 0.1047 кг·м/с

Если нужно, могу привести решение в виде компактной таблицы или привести проверку на конкретных примерах времени t (например, когда x=0 или x=±A).