Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и не позиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры

Краткое описание видов систем счисления:

• Унарная (base-1) система: каждый символ означает единицу. Нет места значения, т.е. число определяется длиной последовательности символов. Не является позиционной.
• Позиционные системы: число представлено в виде циф и их позиций (основание b, цифы 0..b−1). Есть место значения (place value). Примеры: десятичная (base-10), двоичная (base-2), шестнадцатеричная (base-16).
• Не позиционные (непозиционные) системы: числа строятся из символов фиксированных значений, сумма которых дает искомое число. Место (позиция) не влияет на значение символов. Примеры: древнеримская система, египетская и др. Часто встречаются и правила вычитания/упрощения, но это всё равно не позиционная запись.

Чем они различаются (основные критерии):

• Как определяется число:
  • Унарная: длина записи равна числу. Нет места значения.
  • Позиционная: значение зависит от циф и от их позиции (основание системы).
  • Не позиционная: значение — сумма значений отдельных символов, порядок обычно не имеет значения (за редким исключением правил типа вычитания в римских цифрах).
• Наличие нуля:
  • Унарная: нет отдельного символа 0; ноль практически не представляется обычной записью.
  • Позиционная: ноль является отдельной цифрой-плейсхолдером.
  • Не позиционная: чаще всего нуль отсутствует как отдельный символ.
• Эффективность для записи больших чисел:
  • Унарная: очень неэффективна — длина записи растёт линейно с числом.
  • Позиционные: очень эффективны — длина записи примерно логарифм числа по основанию b.
  • Не позиционная: запись зависит от количества используемых символов; может быть длинной и не очень удобной для вычислений.
• Арифметика:
  • Унарная: сложение/умножение приводят к простым операциям над количеством символов, но масштабируется плохо.
  • Позиционная: арифметика упорядочена и реализуема по правилам переноса и т.п.
  • Не позиционная: арифметика может требовать переработки записей (переписывание чисел, преобразование к другой форме).

Примеры для наглядности (для числа 275)

• Унарная система:
  • Запись: 275 одиночных символов (например, 275 вертикальных штрихов). Обычно так не пишут из-за огромной длины.
• Позиционные системы (основа 10, десятичная):
  • 275₁₀ как есть.
  • В двоичной системе: 275₂ = 100010011₂.
  • В шестнадцатеричной системе: 275₁₀ = 0x113.
• Не позиционные системы:
  • Древнеримская система: 275 = CCLXXV (200 + 70 + 5).
  • Египетские иероглифические/иероглифические знаки: число строится суммированием повторяющихся знаков для 1, 10, 100, 1000 и т.д. Для 275 это примерно: две сотни знака + семь десятков знаков + пять единиц знаков.
  • Примеры для иллюстрации (текстово): 275 = 2×100 + 7×10 + 5×1 в египетской системе; 275 = CC L XX V в римской системе (без учета возможных сокращений).

Еще несколько важных деталей:

• Ноль как placeholder: в позиционных системах ноль необходим для корректности представления, в не позиционных и унарной системах ноль обычно не имеется в стандартной записи.
• Применения:
  • Унарная: теоретически полезна в учебных целях (объяснение счёта, некоторых концепций в информатике и теории сложности, например кодирование числа в виде длины простого объекта).
  • Позиционные: базис большинства современных вычислений, цифровых устройств, программирования (десятичная удобна людям, двоичная/шестнадцатеричная — для компьютеров).
  • Не позиционные: исторически важны (римские и египетские системы), полезны для иллюстрации альтернативных подходов к представлению чисел и к вычислениям.

Дополнительные направления для самостоятельного изучения:

• Посмотрите обзорные разделы по позиционным системам счисления в книгах по теории чисел или информатике, а также на соответствующих статьях в Википедии: общие принципы, арифметика в позиционных системах, примеры конвертации между системами.
• Для унарной системы можно увидеть примеры в задачах по теории сложности (один из эталонов кодирования чисел — унарное кодирование).
• Для не позиционных систем полезно ознакомиться с историей римских цифр и египетских чисел: как устроены символы и как строились числа в этих системах.

Если нужно, могу привести пошаговые примеры конвертации конкретного числа между несколькими системами или рассмотреть конкретную систему в деталях (например, подробно разобрать арифметику в римских цифрах).