Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань квадрат. 2) Боковое ребро…

Ниже подробные решения по обеим задачам.

1. Прямая призма, основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань квадрат.

• Основание призмы — прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и гипотенуза 10 см (3-4-5 треугольник: 6^2 + 8^2 = 10^2).
• Боковые грани призмы — прямоугольники со сторонами (стороны основания) × высота h:
  • 6 × h, 8 × h, 10 × h.
• Наибольшая боковая грань пропорциональна самой длинной стороне основания, то есть 10h. Чтобы эта грань была квадратом, нужно, чтобы ее стороны равнялись: 10 = h. Следовательно, высота призмы h = 10 см.
• Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: A боковая = P_base × h. Периметр основания P_base = 6 + 8 + 10 = 24 см. А боковая = 24 × 10 = 240 см².

Ответ: 240 см².

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. a) Найдите высоту пирамиды. b) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) Высота

• Обозначим боковое ребро l = 4 см, угол между ребром и основанием φ = 45°.
• В треугольнике, образованном боковым ребром, высотой пирамиды h и их проекцией на основание, гипотенуза — боковое ребро, противолежащий катет — высота h. Тогда sin φ = h / l. Значит h = l · sin φ = 4 · sin 45° = 4 · (√2/2) = 2√2 см.

б) Площадь боковой поверхности

• Сначала найдём сторону основания квадрата a.
• Прprojection от вершины к центру основания — расстояние от центра квадрата до вершины, которое равно d = sqrt(l^2 − h^2) = sqrt(4^2 − (2√2)^2) = sqrt(16 − 8) = sqrt(8) = 2√2.
• В правильной квадратной пирамиде расстояние от центра основания до любой вершины равно a/√2. Следовательно, a/√2 = 2√2 → a = 2√2 · √2 = 4 см.
• Найдём высоту боковой треугольной грани (строго говоря, высоту каждой боковой грани, т. е. её слант–высоту). Это длина стороны подпоясной высоты трапеции основания к вершине — слант–высота: s = sqrt(h^2 + (a/2)^2) = sqrt((2√2)^2 + (4/2)^2) = sqrt(8 + 4) = sqrt(12) = 2√3 см.
• Площадь одной боковой треугольной грани: S_одной = (1/2) · a · s = (1/2) · 4 · (2√3) = 4√3 см².
• Так как у пирамиды 4 равные боковые грани, общая боковая площадь: A_бок = 4 · S_одной = 4 · 4√3 = 16√3 см².

Или в числовом виде: A_бок ≈ 16 · 1.732 ≈ 27.71 см².

Ответы:

• а) высота пирамиды h = 2√2 см ≈ 2.83 см.
• б) площадь боковой поверхности A_бок = 16√3 см² ≈ 27.71 см².