Z=sin2π/5+I(1-cos2π/5)

Задача: z = sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) Цель: понять и получить подробное решение. Пошаговое решение 1) Обозначим θ = 2π/5. Тогда z = sin θ + i(1 − cos θ). 2) Применим формулы половинного угла: - sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) - cos θ = 1 − 2 sin^2(θ/2) Подставим: z = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) + i[1 − (1 − 2 sin^2(θ/2))] = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) + i · 2 sin^2(θ/2) = 2 sin(θ/2)[cos(θ/2) + i sin(θ/2)] 3) Заметим, что cos(α) + i sin(α) = e^{iα}. Поэтому: z = 2 sin(θ/2) e^{i(θ/2)}. 4) Подставим θ/2 = π/5 (так как θ = 2π/5): z = 2 sin(π/5) e^{i π/5}. Это компактная полярная форма: модуль |z| = 2 sin(π/5) и аргумент arg(z) = π/5. 5) Альтернативные конкретные формы - Рационально-алгебраическая (для 36° и 72°): • sin(72°) = sin(2π/5) = √[(5 + √5)/8]. • cos(72°) = cos(2π/5) = (√5 − 1)/4. • 1 − cos(72°) = 1 − (√5 − 1)/4 = (5 − √5)/4. Тогда z в действительных и мнимых частях: z = sin(72°) + i(1 − cos(72°)) = √[(5 + √5)/8] + i·(5 − √5)/4. - В полном виде с полярной формой: |z| = 2 sin(π/5) = √[(5 − √5)/2] ≈ 1.17557, arg(z) = π/5 = 36°, поэтому z = |z| e^{iπ/5} = √[(5 − √5)/2] e^{iπ/5}. 6) Численное приближенное значение - Re(z) = sin(72°) ≈ 0.9510565 - Im(z) = 1 − cos(72°) ≈ 0.6909830 Таким образом, несколько эквивалентных форм: - z = 2 sin(π/5) e^{i π/5} - z ≈ 0.9510565 + 0.6909830 i - z = √[(5 + √5)/8] + i (5 − √5)/4 Если нужно, могу привести более подробное разборы по любому из полученных представлений.