Ниже даны подробные решения для двух запросов: ограниченность снизу (024.12) и ограниченность сверху (024.13). Везде использованы простые признаки boundness.
Показатель определения:
последовательность {a_n} ограничена снизу, если существует величина L такая, что a_n ≥ L для всех n.
ограничена сверху, если существует величина U такая, что a_n ≤ U для всех n.
024.12. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?
a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
Все члены положительны, поэтому можно взять нижнюю границу L = 0. Следовательно, ограничена снизу.
b) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
Промежуточные члены возрастают и все они не менее чем 1/2. Можно взять нижнюю границу L = 1/2. Следовательно, ограничена снизу.
в) -1, 2, 3, 4, 5, …
Первый член равен -1, остальные больше. Весь набор имеет нижнюю границу L = -1. Следовательно, ограничена снизу.
г) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, …
Последовательность неограниченно убывает и далее может уходить к минус бесконечности. Не существует нижней границы. Не ограничена снизу.
Ответ по 024.12: а) да, б) да, в) да, г) нет.
024.13. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?
a) -3, -2, -1, 0, 1, …
Рост к бесконечности. Не ограничена сверху.
б) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
Все члены положительны и не превышают 1/2. Верхняя граница U = 1/2. Следовательно, ограничена сверху.
в) 1, -1, 1, 2, 1, -3, …
По описанию могут существовать большие положительные члены (например, дальнейшие члены, соответствующие закономерности, растут как 4, 6 и т.д.). В явном виде последовательность содержит подряд пары, где четные члены растут по модулю: a_{2m} = (-1)^m m. Для четных m получаем положительные значения растущие without bound (например, a_4 = 2, a_8 = 4, …). Значит, она не ограничена сверху.
г) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5
Все члены меньше 1, поэтому верхняя граница U = 1. Следовательно, ограничена сверху.
Ниже даны подробные решения для двух запросов: ограниченность снизу (024.12) и ограниченность сверху (024.13). Везде использованы простые признаки boundness.
Показатель определения:
- последовательность {a_n} ограничена снизу, если существует величина L такая, что a_n ≥ L для всех n.
- ограничена сверху, если существует величина U такая, что a_n ≤ U для всех n.
024.12. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?
a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
- Все члены положительны, поэтому можно взять нижнюю границу L = 0. Следовательно, ограничена снизу.
b) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
- Промежуточные члены возрастают и все они не менее чем 1/2. Можно взять нижнюю границу L = 1/2. Следовательно, ограничена снизу.
в) -1, 2, 3, 4, 5, …
- Первый член равен -1, остальные больше. Весь набор имеет нижнюю границу L = -1. Следовательно, ограничена снизу.
г) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, …
- Последовательность неограниченно убывает и далее может уходить к минус бесконечности. Не существует нижней границы. Не ограничена снизу.
Ответ по 024.12: а) да, б) да, в) да, г) нет.
024.13. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?
a) -3, -2, -1, 0, 1, …
- Рост к бесконечности. Не ограничена сверху.
б) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
- Все члены положительны и не превышают 1/2. Верхняя граница U = 1/2. Следовательно, ограничена сверху.
в) 1, -1, 1, 2, 1, -3, …
- По описанию могут существовать большие положительные члены (например, дальнейшие члены, соответствующие закономерности, растут как 4, 6 и т.д.). В явном виде последовательность содержит подряд пары, где четные члены растут по модулю: a_{2m} = (-1)^m m. Для четных m получаем положительные значения растущие without bound (например, a_4 = 2, a_8 = 4, …). Значит, она не ограничена сверху.
г) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5
- Все члены меньше 1, поэтому верхняя граница U = 1. Следовательно, ограничена сверху.
Ответ по 024.13: а) нет, б) да, в) нет, г) да.
Итог:
- Ограничены снизу: а, б, в.
- Ограничены сверху: б, г.
