111. Каждое ребро треугольной пирамиды равно а. Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его…

Задача: В правильной тетраэдре (трёхугольная пирамида) все рёбра равны a. Плоскость проходит через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Найдите сечение и его периметр и площадь. Сделайте рисунок.

Решение

1. Обозначения

• Пусть вершины тетраэдра: A, B, C, D. Все ребра AB = AC = AD = BC = BD = CD = a.
• Пусть M, N, P – середины рёбер AB, AC, AD соответственно: AM = MB = AN = NC = AP = PD = a/2.

2. Построение сечения и его свойство

• В треугольнике ABC середина отрезка MN (M на AB, N на AC) образует середнюю линию, значит MN параллельно BC и MN = BC/2 = a/2.
• Аналогично: NP — середняя линия в треугольнике ACD, поэтому NP || CD и NP = CD/2 = a/2. MP — середняя линия в треугольнике ABD, поэтому MP || BD и MP = BD/2 = a/2.
• Следовательно точки M, N, P образуют треугольник MNP, стороны которого равны a/2. Значит MNP — равносторонний треугольник, параллельный основанию BCD (поскольку через A и коэффициентом 1/2 получается образ основания BCD под гомотетией с центром A).

3. Размеры треугольника MNP

• Все стороны треугольника MNP равны a/2, следовательно:
  • Периметр P_MNP = 3 · (a/2) = 3a/2.
  • Площадь S_MNP — площадь равностороннего треугольника со стороной a/2: S_MNP = (√3/4) · (a/2)^2 = (√3/4) · (a^2/4) = √3 · a^2 / 16.

4. Дополнительная иллюстрация (координатный вариант рисунка) Чтобы было удобнее нарисовать на чертеже или в GeoGebra, можно взять координаты:

• База B(0, 0, 0), C(a, 0, 0), D(a/2, (√3/2)a, 0).
• Вершина A наверху над центроидом базы: A(a/2, (√3/6)a, h), где h = √(2/3) a.
• Медианы: M = (A + B)/2 = (a/4, (√3/12)a, h/2) N = (A + C)/2 = (3a/4, (√3/12)a, h/2) P = (A + D)/2 = (a/2, (√3/3)a, h/2)
• Тогда треугольник MNP лежит в плоскости z = h/2 и имеет стороны a/2.

5. Рисунок (план чертежа)

• Нарисуйте равностороннее основание BCD (ребра BC, CD, DB поa).
• Над центром основания поднимите вершину A на высоту h.
• Отметьте середины середины рёбер: M на AB, N на AC, P на AD.
• Соедините M–N, N–P, P–M — получится сечение MNP, параллельное основанию BCD и со сторонами a/2. Это равносторонний треугольник внутри тетраэдра.

Итоги

• Сечение MNP является равносторонним треугольником со стороной a/2.
• Периметр сечения: 3a/2.
• Площадь сечения: √3 · a^2 / 16.

Если хотите, могу нарисовать схему в GeoGebra или прислать готовый файл координат для автопостроения.