y=h(f(x))

Задача задана как y = h(f(x)). Это композиция функций: сначала применяем f к x, затем к результату применяем h. Ниже — подробное объяснение и несколько примеров, чтобы понять идею и научиться решать подобные задачи.

1. Что означает y = h(f(x))

• f: X → Y – первая функция.
• h: Y → Z – вторая функция, принимает то, что даёт f.
• Композиция h ∘ f: X → Z, определяемая (h ∘ f)(x) = h(f(x)).
• Домeн композиции: все x из домена f, для которых f(x) принадлежит области определения h. То есть x должен быть в Dom(f) и f(x) ∈ Dom(h).

2. Как распознавать и вычислять

• Шаг 1: Найдите область определения Dom(f).
• Шаг 2: Узнайте, в какую область должна попадать f(x) для работы h; это Dom(h).
• Шаг 3: Объедините условия: x ∈ Dom(f) и f(x) ∈ Dom(h).
• Шаг 4: Запишите y = h(f(x)) после того, как подставили f(x) в h.

3. Примеры

• Пример 1. Пусть f(x) = 2x − 3, h(u) = u^2.

  • Тогда y = h(f(x)) = (2x − 3)^2.
  • Домeн: все действительные x (так как Dom(f) = R и Dom(h) = R+ (квадрат без ограничений) на самом деле все R; квадрат определён для любых u).

• Пример 2. Пусть f(x) = x^2, h(u) = sqrt(u).

  • Тогда y = h(f(x)) = sqrt(x^2) = |x|.
  • Домeн: x ∈ R, но требование sqrt(u) требует u ≥ 0, здесь это выполнено для любого x, потому что x^2 ≥ 0. Но результат |x| имеет разрыв в нуле в смысле гладкости.
  • Важно: sqrt(x^2) = |x|, а не просто x.

• Пример 3. Пусть f(x) = x + 4, h(u) = ln(u).

  • Тогда y = h(f(x)) = ln(x + 4).
  • Домeн: x + 4 > 0 → x > −4.

• Пример 4. Пусть f(x) = sin x, h(u) = u + 1.

  • Тогда y = h(f(x)) = sin x + 1.
  • Домeн: все x (для синуса нет ограничений).

4. Быстрые заметки и типичные ошибки

• Не забывайте про область определения: иногда композиция ограничивает x сильнее, чем каждая функция порознь.
• При подстановке помните, что результат f(x) должен попадать в область определения h.
• Если обе функции заданы явно, можно просто подставить: y = h(f(x)).
• При упрощении часто можно сначала упростить f(x) внутри, затем применить форму h.

5. Если нужно дифференцировать (если в курсе есть производные)

• Правило цепи: d/dx [h(f(x))] = h′(f(x)) · f′(x).
• Это полезно, когда задача требует производной композиции.

6. Как применить на практике

• Если у вас есть конкретные функции f и h, например:
  • f(x) = 3x − 5, h(u) = u^2 + 1 → y = (3x − 5)^2 + 1.
  • f(x) = e^x, h(u) = ln(u) → y = ln(e^x) = x (для x ∈ R, потому что e^x > 0).
  • f(x) = x − 2, h(u) = sqrt(u) → y = sqrt(x − 2); область определения x > 2.
• Подставляйте последовательно: сначала найдите f(x), затем возьмите h от результата.

Если хочешь, пришли конкретные f и h (или пример задачи типа «найти y, определить область определения» для конкретных функций). Я сделаю пошаговое решение именно под твои функции и поясню, как получать ответ.