√129=

Задача: √129

Параметры: Предмет — Алгебра, Класс — 8, Цель — Понять

1. Упростим радикал

• 129 можно разложить на множители: 129 = 3 × 43.
• Ни 3, ни 43 не являются квадратами, и в факторизации под корнем нет квадратных множителей.
• Значит радикал нельзя вынести и упрощать: простейшее форме √129.

Итого: √129 — это иррациональное число, значение которого примерно равно 11.3578.

2. Приближённое вычисление Метод 1. Линейная аппроксимация (около 11^2 = 121)

• sqrt(129) ≈ 11 + (129 − 121) / (2·11) = 11 + 8/22 ≈ 11.3636
• Это приблизительное значение; истинное чуть меньше.

Метод 2. Метод Ньютона (быстрая сходимость)

• Выбираем начальное приближение, например x0 = 11.36.
• Итерация: x1 = (x0 + 129/x0) / 2.

Вычисления:

• 129 / 11.36 ≈ 11.3556
• x1 ≈ (11.36 + 11.3556) / 2 ≈ 11.3578

После одной итерации получаем очень точное значение: √129 ≈ 11.3578.

3. Проверка

• Возвести в квадрат: 11.3578^2 ≈ 129.000 (разница очень малая), значит приближённое значение верно.

Ответ:

• Точно: √129
• Приближённо: ≈ 11.3578 (до 4 знаков после запятой)