Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой. 522 Стороны параллелограмма равны 10 см и З см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противо- положную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Ниже подробные решения обеих задач. Задача 1. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой. Пусть в выпуклом четырехугольнике A,B,C,D пронумеруем углы A,B,C,D по порядку. Известно, что сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Пусть не все углы равны друг другу. Если бы все углы были не более 90°, то суммарно они не превысили бы 360°, и единственная возможность попасть в 360° — все углы ровно по 90°. Но в условии сказано, что углы не все равны друг другу, значит не выполняется условие «все по 90°». Это противоречит тому, что сумма равна 360°. Следовательно, найдётся хотя бы один угол, который больше 90°, то есть тупой. Итого: в любом выпуклом четырёхугольнике, если не все углы равны друг другу, то существует хотя бы один тупой угол. Задача 2. Параллелограмм стороны равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки. Пусть ABCD — параллелограмм, где AB = CD = 10 см (большая сторона), BC = AD = 3 см. Пусть AB лежит на оси x и угол при A равен φ (0 < φ < 180°). Тогда можно выбрать координаты: - A = (0, 0) - B = (10, 0) - D = (3 cos φ, 3 sin φ) - C = B + AD = (10 + 3 cos φ, 3 sin φ) Тогда сторона CD — горизонтальная от D до C и имеет длину 10 см. Найдем точки пересечения биссектрис с стороной CD. 1) Биссектриса угла A (между AB и AD). - Направление биссектрисы задаётся углом φ/2 к оси AB. Путь от A вдоль этой биссектрисы задаётся параметрически: A + t (cos(φ/2), sin(φ/2)). - Её пересечение с CD имеет координату y = 3 sin φ. Значит t sin(φ/2) = 3 sin φ. - Так как sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2), имеем t = 6 cos(φ/2). - Координата по x: x_E = t cos(φ/2) = 6 cos^2(φ/2) = 3(1 + cos φ). - Координата D по x: x_D = 3 cos φ. Поэтому DE = x_E − x_D = 3(1 + cos φ) − 3 cos φ = 3 см. 2) Биссектриса угла B (угол между BA и BC; B90° в зависимости от φ, но направление биссектрисы можно учесть по симметрии). - Направление этой биссектрисы: угол между BA (направление влево, π) и BC (угол φ). Биссектриса имеет направление с углом (π + φ)/2. - Вектор направления: (cos((π+φ)/2), sin((π+φ)/2)) = (−sin(φ/2), cos(φ/2)). - Путь от B вдоль биссектрисы: B + s (−sin(φ/2), cos(φ/2)). - Пересечение с CD значит y = 3 sin φ, откуда s cos(φ/2) = 3 sin φ. Снова sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2), значит s = 6 sin(φ/2). - Координата по x: x_F = 10 − s sin(φ/2) = 10 − 6 sin^2(φ/2) = 10 − 6(1 − cos φ)/2 = 7 + 3 cos φ. - Координата C по x: x_C = 10 + 3 cos φ. Тогда FC = x_C − x_F = (10 + 3 cos φ) − (7 + 3 cos φ) = 3 см. Получаем: DE = 3 см и FC = 3 см. Так как длина CD равна 10 см, то EF = CD − DE − FC = 10 − 3 − 3 = 4 см. Ответ: на противоположной стороне точки пересечения биссектрис разбивают её на отрезки длиной 3 см, 4 см и 3 см (от D к E — 3 см, E к F — 4 см, F к C — 3 см). Чтобы было понятно, можно заметить красивую симметрию: углы при A и B образуют биссектрисы, которые пересекают противоположную сторону на расстояниях, равных длине прилегающей боковой стороны (3 см) от каждого конца, поэтому середина между этими двумя точками образует отрезок длиной 4 см. Итог по задаче 2: отрезки на стороне противоположной большой стороне имеют длины 3 см, 4 см, 3 см.