Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой. 522 Стороны параллелограмма равны 10 см и З см. Биссектрисы двух углов,…

Ниже подробные решения обеих задач.

Задача 1. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Пусть в выпуклом четырехугольнике A,B,C,D пронумеруем углы A,B,C,D по порядку. Известно, что сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Пусть не все углы равны друг другу.

Если бы все углы были не более 90°, то суммарно они не превысили бы 360°, и единственная возможность попасть в 360° — все углы ровно по 90°. Но в условии сказано, что углы не все равны друг другу, значит не выполняется условие «все по 90°». Это противоречит тому, что сумма равна 360°. Следовательно, найдётся хотя бы один угол, который больше 90°, то есть тупой.

Итого: в любом выпуклом четырёхугольнике, если не все углы равны друг другу, то существует хотя бы один тупой угол.

Задача 2. Параллелограмм стороны равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Пусть ABCD — параллелограмм, где AB = CD = 10 см (большая сторона), BC = AD = 3 см. Пусть AB лежит на оси x и угол при A равен φ (0 < φ < 180°). Тогда можно выбрать координаты:

• A = (0, 0)
• B = (10, 0)
• D = (3 cos φ, 3 sin φ)
• C = B + AD = (10 + 3 cos φ, 3 sin φ)

Тогда сторона CD — горизонтальная от D до C и имеет длину 10 см.

Найдем точки пересечения биссектрис с стороной CD.

1. Биссектриса угла A (между AB и AD).

• Направление биссектрисы задаётся углом φ/2 к оси AB. Путь от A вдоль этой биссектрисы задаётся параметрически: A + t (cos(φ/2), sin(φ/2)).
• Её пересечение с CD имеет координату y = 3 sin φ. Значит t sin(φ/2) = 3 sin φ.
• Так как sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2), имеем t = 6 cos(φ/2).
• Координата по x: x_E = t cos(φ/2) = 6 cos^2(φ/2) = 3(1 + cos φ).
• Координата D по x: x_D = 3 cos φ. Поэтому DE = x_E − x_D = 3(1 + cos φ) − 3 cos φ = 3 см.

2. Биссектриса угла B (угол между BA и BC; B90° в зависимости от φ, но направление биссектрисы можно учесть по симметрии).

• Направление этой биссектрисы: угол между BA (направление влево, π) и BC (угол φ). Биссектриса имеет направление с углом (π + φ)/2.
• Вектор направления: (cos((π+φ)/2), sin((π+φ)/2)) = (−sin(φ/2), cos(φ/2)).
• Путь от B вдоль биссектрисы: B + s (−sin(φ/2), cos(φ/2)).
• Пересечение с CD значит y = 3 sin φ, откуда s cos(φ/2) = 3 sin φ. Снова sin φ = 2 sin(φ/2) cos(φ/2), значит s = 6 sin(φ/2).
• Координата по x: x_F = 10 − s sin(φ/2) = 10 − 6 sin^2(φ/2) = 10 − 6(1 − cos φ)/2 = 7 + 3 cos φ.
• Координата C по x: x_C = 10 + 3 cos φ. Тогда FC = x_C − x_F = (10 + 3 cos φ) − (7 + 3 cos φ) = 3 см.

Получаем: DE = 3 см и FC = 3 см. Так как длина CD равна 10 см, то EF = CD − DE − FC = 10 − 3 − 3 = 4 см.

Ответ: на противоположной стороне точки пересечения биссектрис разбивают её на отрезки длиной 3 см, 4 см и 3 см (от D к E — 3 см, E к F — 4 см, F к C — 3 см).

Чтобы было понятно, можно заметить красивую симметрию: углы при A и B образуют биссектрисы, которые пересекают противоположную сторону на расстояниях, равных длине прилегающей боковой стороны (3 см) от каждого конца, поэтому середина между этими двумя точками образует отрезок длиной 4 см.

Итог по задаче 2: отрезки на стороне противоположной большой стороне имеют длины 3 см, 4 см, 3 см.