(x-³)²/x³

Задача: (x − 3)² / x³. Поясню пошагово, чтобы было понятно в рамках 10 класса и цели “Понять”. 1) Определим область определения - Поскольку в знаменателе стоит x³, выражение определено для всех x ≠ 0. - Делать подстановку x = 0 нельзя: получается деление на ноль. 2) Первый способ упрощения: разложим числитель и разделим по частям - Раскроем квадрат: (x − 3)² = x² − 6x + 9. - Поделим каждое слагаемое на x³: (x² − 6x + 9) / x³ = x²/x³ − 6x/x³ + 9/x³. - Приведем к более простым дробям: x²/x³ = 1/x, 6x/x³ = 6/x², 9/x³ остаётся как 9/x³. - Итого получаем: (x − 3)² / x³ = 1/x − 6/x² + 9/x³. 3) Альтернатива представления - Можно записать как факторизацию через степени: (x − 3)² / x³ = [(x − 3)²/x²] · (1/x) = [(x − 3)/x]² · (1/x). - Это даёт ещё одну форму взгляда: (1/x) · (1 − 3/x)², что иногда удобно для анализа поведения при больших |x|. 4) Что полезно заметить - Никакого упрощения через сокращение не получить: числитель не содержится общий множитель с x³ (кроме случая x = 0, который исключаем). Поэтому сокращения нет. - Поведение при больших x: если x → ±∞, выражение tends к 0 (домножение на 1/x в последней форме). - Пример проверки: возьмём x = 6. (6 − 3)² / 6³ = 3² / 216 = 9/216 = 1/24 ≈ 0.0417. По формуле 1/x − 6/x² + 9/x³: 1/6 − 6/36 + 9/216 = 0.1667 − 0.1667 + 0.0417 = 0.0417. Совпало. 5) Кратко итог - Область определения: x ≠ 0. - Эквивалентно: (x − 3)² / x³ = x²/x³ − 6x/x³ + 9/x³ = 1/x − 6/x² + 9/x³. - Альтернативно: (1/x) · (1 − 3/x)². Если хочешь, могу показать ещё график поведения или найти пределы/асимптоты по этому выражению.