{x^2+6x+16_<0 {x^2+x+20>0

Задача разбита на два неравенства:

1. x^2 + 6x + 16 < 0
2. x^2 + x + 20 > 0

Детальное решение по каждому неравенству.

1. x^2 + 6x + 16 < 0

• Рассмотрим дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4·1·16 = 36 - 64 = -28 < 0.
• Так как a = 1 > 0 и дискриминант отрицательный, квадратичная функция не пересекает ось x и лежит выше неё для всех x.
• Можно привести к виду (x + 3)^2 + 7. Минимум достигается в x = -3 и равен 7 (> 0).
• Следовательно, выражение x^2 + 6x + 16 никогда не бывает меньше 0.
• Решение: для этого неравенства решений нет (пустое множество).

2. x^2 + x + 20 > 0

• Рассмотрим дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4·1·20 = 1 - 80 = -79 < 0.
• Опять же a = 1 > 0 и Δ < 0, значит парабола лежит полностью выше оси x.
• Можно записать через квадрат: x^2 + x + 20 = (x + 1/2)^2 + 79/4, что строго больше 0 для любого x.
• Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных x.
• Решение: все действительные числа (R).

Итог:

• x^2 + 6x + 16 < 0: решений нет.
• x^2 + x + 20 > 0: все действительные числа.