Теорема пифагора

Кратко:

• Утверждение: в любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется a^2 + b^2 = c^2.
• Варианты письма: c = sqrt(a^2 + b^2); векторная/координатная форма: расстояние между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) равно sqrt((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2).
• Связь: это частный случай закона косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C, при C = 90°, cos C = 0.
• Пример: треугольник с катетами 3 и 4 имеет гипотенузу 5, потому что 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, sqrt(25) = 5.

Короткое доказательство (одна из простых версий):

• В прямоугольном треугольнике проведём высоту к гипотенузе, что делит треугольник на два меньших, оба подобны исходному. Пусть гипотена c, высота h делит её на отрезки m и n, где m+n = c.
• Из подобия получаем a^2 = c·m и b^2 = c·n. Складывая: a^2 + b^2 = c(m+n) = c^2.

Применения:

• Расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2): sqrt((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2).
• Любая геометрия в евклидовом пространстве: в прямом угле сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины гипотенузы.

Если хотите, могу привести другое доказательство, привести задачи на применение или расширение на 3D. Что предпочитаете?