найти точку максимума функции y=(x-2)² (x-4) +5

Разберём задачу пошагово.

1. Найдём производную функции y = (x − 2)^2 (x − 4) + 5.

Обозначим A = (x − 2)^2 и B = (x − 4). Тогда y = AB + 5 и y' = A'B + AB'.

A' = 2(x − 2), B' = 1. Значит y' = 2(x − 2)(x − 4) + (x − 2)^2 = (x − 2)[2(x − 4) + (x − 2)] = (x − 2)(3x − 10).

2. Найдём критические точки y' = 0 → (x − 2)(3x − 10) = 0 Получаем x = 2 и x = 10/3.

3. Определим тип экстремума Вычислим вторую производную: y'' = derivative of (x − 2)(3x − 10) = (3x − 10) + 3(x − 2) = 6x − 16.

• При x = 2: y''(2) = 6·2 − 16 = 12 − 16 = −4 < 0 → локальный максимум.
• При x = 10/3: y''(10/3) = 6·(10/3) − 16 = 20 − 16 = 4 > 0 → локальный минимум.

4. Значения функций в этих точках

• x = 2: y(2) = (0)^2(−2) + 5 = 5. Таким образом, локальный максимум в точке (2, 5).
• x = 10/3: y(10/3) = (10/3 − 2)^2(10/3 − 4) + 5 = (4/3)^2(−2/3) + 5 = (16/9)(−2/3) + 5 = −32/27 + 5 = 103/27 ≈ 3.815. Это локальный минимум.

Важно: это кубическая функция с положительным старшим коэффициентом, поэтому глобального максимума на всей вещественной оси нет: функция стремится к +∞ при x → +∞.

Ответ: точка максимума (локального) — (2, 5). глобального максимума у функции на всей ℝ нет.