Турист прошёл 2 км на юг, а потом ещё 4 км - на юго-вос ток. Чему равны модуль перемещения туриста и угол между вектором перемещения и направлением на юг?

Задача: турист прошёл 2 км на юг, затем 4 км на юго-восток. Найти модуль перемещения и угол между вектором перемещения и направлением на юг.

Пошаговое решение (для средней школы):

1. Задаём систему координат: ось x — восток, ось y — север.

• Первая часть пути: 2 км на юг → в векторной форме D1 = (0, -2).
• Вторая часть пути: 4 км на юго-восток. Юго-восток имеет направление 45° к югу от востока, поэтому координаты: D2 = (4 cos 45°, -4 sin 45°) = (4·√2/2, -4·√2/2) = (2√2, -2√2).

2. Суммарный вектор перемещения: D = D1 + D2 = (0 + 2√2, -2 - 2√2) = (2√2, -2 - 2√2) км.

3. Модуль перемещения |D|: |D| = sqrt[(2√2)² + (-2 - 2√2)²] = sqrt[8 + (2 + 2√2)²] = sqrt[8 + 4(1 + √2)²] = sqrt[8 + 12 + 8√2] = sqrt[20 + 8√2] = 2·sqrt(5 + 2√2) ≈ 5.59 км.

4. Угол между вектором D и направлением на юг.

• Направление на юг задаётся вектором s = (0, -1). Косинус угла: cos θ = (D · s) / (|D||s|) = [ (2√2)·0 + (-2 - 2√2)(-1) ] / |D| = (2 + 2√2)/|D|. Тогда θ ≈ arccos[(2 + 2√2)/5.59] ≈ 30°. Также удобнее увидеть через тангенс угла от юга к востоку: tan φ = (составляющая по востоку) / (составляющая по югу) = (2√2) / (2 + 2√2) = √2 / (1 + √2) = 2 - √2 ≈ 0.5858, φ ≈ arctan(0.5858) ≈ 30.3°.

Ответ:

• Модуль перемещения ≈ 5.59 км.
• Угол между вектором перемещения и направлением на юг ≈ 30.3°. Направление перемещения относительно юга — примерно на восток (то есть юго-восток).