3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что AC = BD = AO = BO. Сравните углы CAB и DBA. 1. ZCAB > ZDBA. 2. LCAB = LDBA. 3. LCAB < LDBA. 4. Сравнить невозможно.

Ответ: 2. ∠CAB = ∠DBA.

Пошаговое решение:

1. Пусть AO = BO = a > 0. Разместим координаты так, чтобы O был в начале координат, ось AB лежала на оси x, а A и B были симметрично относительно O:

• A = (-a, 0)
• B = ( a, 0)

2. Точка C и D лежат на прямой CD, которая проходит через O и образует с AB угол θ. Тогда можно записать:

• C = t (cos θ, sin θ), D = -t (cos θ, sin θ), где t ≥ 0 — расстояние OC = OD.

3. Условие AC = AO даёт: |AC|^2 = (t cos θ + a)^2 + (t sin θ)^2 = a^2. Раскрывая и упрощая: t^2 + 2 a t cos θ = 0 ⇒ t(t + 2 a cos θ) = 0. Так как t ≠ 0 (C ≠ A и C ≠ O в общем случае), получаем t = -2 a cos θ.

Аналогично из BD = BO получаем то же самое значение для s, но так как D = -t (cos θ, sin θ) и t = OC, находим OC = OD = t = -2 a cos θ.

4. Теперь найдем векторы для нужных углов.

• Вектор AB = B − A = (2a, 0).
• Вектор AC = C − A = (t cos θ + a, t sin θ) = (a - 2a cos^2 θ, -2a sin θ cos θ) = (-a cos 2θ, -a sin 2θ).

Тогда косинус угла ∠CAB: cos ∠CAB = (AB · AC) / (|AB| |AC|) = [(2a, 0) · (-a cos 2θ, -a sin 2θ)] / (2a · a) = (-2a^2 cos 2θ) / (2a^2) = - cos 2θ.

• Вектор DB = D − B = (-t cos θ - a, -t sin θ) = (a cos 2θ, a sin 2θ).
• Вектор BA = A − B = (-2a, 0).

Тогда косинус угла ∠DBA: cos ∠DBA = (DB · BA) / (|DB| |BA|) = [(a cos 2θ, a sin 2θ) · (-2a, 0)] / (a · 2a) = (-2a^2 cos 2θ) / (2a^2) = - cos 2θ.

Получили одно и то же значение cos для ∠CAB и ∠DBA, значит сами углы равны (они лежат в диапазоне 0–π).

Вывод: ∠CAB = ∠DBA. Поэтому верный вариант — 2.