4×^4+11×^2-45=0

Задача: 4x^4 + 11x^2 - 45 = 0

Пошаговое решение (пояснения для понимания)

1. Замена для упрощения

• Пусть y = x^2. Тогда уравнение превращается в quadratическое: 4y^2 + 11y - 45 = 0.

2. Факторизация квадратичного тройного

• Нужно разложить 4y^2 + 11y - 45 на множители.
• Найдём такие два множителя, которые при умножении дают 4*(-45) = -180 и при сложении дают 11.
• Подходящие числа: 20 и -9, так как 20*(-9) = -180 и 20 + (-9) = 11.
• Приведём разложение: 4y^2 + 20y - 9y - 45 = (4y^2 + 20y) + (-9y - 45) = 4y(y + 5) - 9(y + 5) = (y + 5)(4y - 9).

3. Решение для y

• Отсюда получаем 2 варианта:
  • y + 5 = 0 → y = -5
  • 4y - 9 = 0 → y = 9/4

4. Возвращение к x

• Так как y = x^2, рассмотрим оба случая.

a) y = -5:

• x^2 = -5 → x = ± i√5 (комплексные корни).

b) y = 9/4:

• x^2 = 9/4 → x = ± 3/2 (действительные корни).

5. Итог

• Действительные корни: x = -3/2 и x = 3/2.
• Комплексные корни (если допускаются): x = ± i√5.

Проверка (по желанию):

• Подстановка x = ±3/2 даёт 4(9/4)^2 + 11(9/4) - 45 = 0, что подтверждает корни.