реши уравнение 3(sinx)^2-3cosx-6sinx+2sin2x+3=0

Решение уравнения: 3(sin x)^2 - 3 cos x - 6 sin x + 2 sin 2x + 3 = 0.

1. Обозначим s = sin x, c = cos x. Тогда sin 2x = 2 s c, и получаем: 3 s^2 - 3 c - 6 s + 4 s c + 3 = 0.

2. Сгруппируем как 3(s - 1)^2 + (4s - 3)c = 0, следовательно c = -3 (s - 1)^2 / (4s - 3), при 4s ≠ 3.

Для 4s = 3 (то есть s = 3/4) подстановка даёт противоречие, значит решений с этим s нет.

3. Так как c^2 + s^2 = 1, имеем c^2 = 9 (s - 1)^4 / (4s - 3)^2, и s^2 + 9 (s - 1)^4 / (4s - 3)^2 = 1.

После умножения и упрощения получаем (s - 1)[ (s + 1)(4s - 3)^2 + 9 (s - 1)^3 ] = 0.

Отсюда следует либо s = 1, либо 25 s^2 - 35 s + 12 = 0, то есть s ∈ {0, 3/5, 4/5}.

4. По значениям s находим соответствующие c и x:

• s = sin x = 1 → c = cos x = 0 → x ≡ π/2 (mod 2π).

• s = sin x = 0 → c = cos x = 1 → x ≡ 0 (mod 2π).

• s = 3/5 → c = 4/5 → x имеет sin 3/5 и cos 4/5, т. е. x ≡ arcsin(3/5) ≡ arctan(3/4) (mod 2π).

• s = 4/5 → c = -3/5 → x имеет sin 4/5 и cos −3/5, т. е. x ≡ π − arcsin(4/5) ≡ π − arctan(4/3) (mod 2π).

Итак, общее решение: x = 2πk, x = π/2 + 2πk, x = arctan(3/4) + 2πk, x = π − arctan(4/3) + 2πk, где k ∈ Z.

Альтернативно можно записать через arcsin: x ∈ { 2πk, π/2 + 2πk, arcsin(3/5) + 2πk, π − arcsin(4/5) + 2πk }.