Х²+4х≤0

Задача: x^2 + 4x ≤ 0

Пошаговое решение с объяснениями

1. Факторизация

• Запишем выражение в факторизованном виде: x^2 + 4x = x(x + 4).
• Неравенство становится: x(x + 4) ≤ 0.

2. Найдём критические точки

• Корни многочлена: x = 0 и x = -4.
• Эти точки делят числовую ось на три интервала: (-∞, -4), (-4, 0), (0, ∞).

3. Анализ знака на каждом интервале

• Возьмём тестовые точки и подставим в x(x+4):
  • x = -5: (-5)(-1) = 5 > 0
  • x = -2: (-2)(2) = -4 < 0
  • x = 1: (1)(5) = 5 > 0
• Значит выражение положительно на интервалах (-∞, -4) и (0, ∞), и отрицательно на интервале (-4, 0).
• Плюс учитываем границы: при x = -4 и x = 0 выражение равно 0.

4. Вывод

• Неравенство ≤ 0 выполняется на интервале между корнями, включая их: [-4, 0].

Альтернативный подход ( completing the square )

• x^2 + 4x ≤ 0 можно записать как (x + 2)^2 - 4 ≤ 0.
• Тогда (x + 2)^2 ≤ 4.
• Это даёт -2 ≤ x + 2 ≤ 2, следовательно -4 ≤ x ≤ 0.

Итог: решение неравенства x^2 + 4x ≤ 0 — интервал [-4, 0]. Проверка: подстановки x = -4 и x = 0 дают 0; значения внутри интервала дают отрицательное число.