Х²+4х≤0

Задача: x^2 + 4x ≤ 0 Пошаговое решение с объяснениями 1) Факторизация - Запишем выражение в факторизованном виде: x^2 + 4x = x(x + 4). - Неравенство становится: x(x + 4) ≤ 0. 2) Найдём критические точки - Корни многочлена: x = 0 и x = -4. - Эти точки делят числовую ось на три интервала: (-∞, -4), (-4, 0), (0, ∞). 3) Анализ знака на каждом интервале - Возьмём тестовые точки и подставим в x(x+4): - x = -5: (-5)(-1) = 5 > 0 - x = -2: (-2)(2) = -4 < 0 - x = 1: (1)(5) = 5 > 0 - Значит выражение положительно на интервалах (-∞, -4) и (0, ∞), и отрицательно на интервале (-4, 0). - Плюс учитываем границы: при x = -4 и x = 0 выражение равно 0. 4) Вывод - Неравенство ≤ 0 выполняется на интервале между корнями, включая их: [-4, 0]. Альтернативный подход ( completing the square ) - x^2 + 4x ≤ 0 можно записать как (x + 2)^2 - 4 ≤ 0. - Тогда (x + 2)^2 ≤ 4. - Это даёт -2 ≤ x + 2 ≤ 2, следовательно -4 ≤ x ≤ 0. Итог: решение неравенства x^2 + 4x ≤ 0 — интервал [-4, 0]. Проверка: подстановки x = -4 и x = 0 дают 0; значения внутри интервала дают отрицательное число.