Один из углов треугольника равен 82. Может ли внеш- ний угол треугольника, не смежный с ним, быть рав- ным: 1)80'; 2) 83*?

Задача: дан треугольник, один угол равен 82°. Можно ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным 80° или 83°? Обозначим углы треугольника: A = 82°, B и C — остальные углы. Сумма углов треугольника равна 180°: A + B + C = 180°. Внешний угол, не смежный с данным углом, можно рассматривать как угол при вершине B или при вершине C (это внешний угол, который образуется при продолжении стороны и не является смежным с углом A). Для любого такого внешнего угла выполняется равенство: E = A + C = 180° − B (для внешнего угла на вершине B), или E = A + B = 180° − C (для внешнего угла на вершине C). 1) Может ли внешний угол быть равным 80°? - Если рассматривать внешний угол на вершине B: E = A + C = 80 ⇒ 82 + C = 80 ⇒ C = -2°, невозможно. - Также E = 180° − B = 80 ⇒ B = 100°, тогда C = 180 − A − B = 180 − 82 − 100 = -2°, невозможно. Оба пути приводят к противоречию. Значит, 80° невозможно. 2) Может ли внешний угол быть равным 83°? - Рассмотрим E на вершине B: E = A + C = 83 ⇒ 82 + C = 83 ⇒ C = 1°. Тогда B = 180 − A − C = 180 − 82 − 1 = 97°. Все углы положительны, значит такой треугольник существует (углы 82°, 97°, 1°). - Также можно рассмотреть E на вершине C: E = A + B = 83 ⇒ 82 + B = 83 ⇒ B = 1°, тогда C = 97°. То же подтверждает существование варианта. Ответ: - 1) 80° — невозможно. - 2) 83° — возможно (например, углы треугольника: 82°, 97°, 1°).