3.7 Докажите с помощью законов алгебры множеств следующие тождества (а) (A∩B)∪B=A_∪B (б) (A∪B∪C)∩(A∪B_∪C)∩(A∪C)=ø

Ниже представлен детальный разбор с пояснениями. Я учту, что в задаче могут быть опечатки: в части (а) правая часть кажется A∪B, а в части (б) B_ обычно обозначает дополнение B^c по отношению к универсальному множеству U. Поясню оба варианта и дам выводы.

Часть (а): (A∩B) ∪ B = A∪B

1. Применяем закон абсорбции: для любых множеств X и Y верно X ∪ (X ∩ Y) = X, а также Y ∪ (X ∩ Y) = Y.
2. Здесь можно переписать так: (A∩B) ∪ B = B ∪ (A∩B). По закону абсорбции это равно B.
3. Итого левый член равен B, т.е. (A∩B)∪B = B.
4. Правую часть записали как A∪B. Эти два множества равны не всегда: они равны только тогда, когда A ⊆ B (то есть A∪B = B).
5. Пример контрпримера, чтобы увидеть неверность тождества в общем случае: возьмём U = {1,2}, A = {1}, B = {2}. Тогда
   • (A∩B)∪B = (∅) ∪ {2} = {2},
   • A∪B = {1,2}. Они не равны. Следовательно, тождество (A∩B)∪B = A∪B неверно в общем случае.
6. Правильное тождество: (A∩B)∪B = B (закон абсорбции).

Итого: в общем виде (A∩B)∪B = B, а не A∪B. Тождество верно только при дополнительном условии A ⊆ B.

Часть (б): (A∪B∪C) ∩ (A∪B_∪C) ∩ (A∪C) = ø Здесь я предположу, что B_ означает complemento B^c относительно универсума U (то есть B_ = B^c).

1. Пусть B_ = B^c. Тогда имеем: (A∪B∪C) ∩ (A∪B^c∪C) ∩ (A∪C).
2. Заметим следующий факт: A∪C ⊆ A∪B∪C и A∪C ⊆ A∪B^c∪C, потому что добавление B или его дополнения не убирает элементы A или C.
3. Следовательно, пересечение трёх множеств равно наименьшему из них, то есть: (A∪B∪C) ∩ (A∪B^c∪C) ∩ (A∪C) = A∪C. Обоснование: если X ⊆ Y и X ⊆ Z, то X ∩ Y ∩ Z = X; здесь X = A∪C, Y = A∪B∪C, Z = A∪B^c∪C, и действительно A∪C ⊆ обе оставшиеся множества.
4. Таким образом левый член равен A∪C, а не пустому множеству ø в общем виде.
5. Пример, демонстрирующий неравенство нулю: возьмём U = {1}, A = {1}, B = ∅, C = ∅. Тогда
   • A∪B∪C = {1},
   • A∪B^c∪C = {1} ∪ U ∖ ∅ ∪ ∅ = U = {1},
   • A∪C = {1}. Их пересечение равно {1}, не пустое.
6. Следовательно, выражение не равно ø в общем виде. Правильное упрощение: (A∪B∪C) ∩ (A∪B^c∪C) ∩ (A∪C) = A∪C.

Выводы

• (а) Правильное тождество: (A∩B)∪B = B. Тождество с A∪B верно только при A ⊆ B.
• (б) При B_ = B^c получаем: (A∪B∪C) ∩ (A∪B^c∪C) ∩ (A∪C) = A∪C, то есть это не равно ø в общем случае. Тождество с ø неверно; единственный случай, когда оно верно, — если A∪C = ø (то есть A = ∅ и C = ∅).

Если вы имели в виду другой смысл B_ (не как B^c), дайте знать — подстрою разбор под ваш вариант.