Третью задачу

Задача 3 (как на фото): провести три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения и скажите, сколько получилось точек. Рассмотрите все возможные случаи.

Что нужно учесть

• С условия следует, что никакие две прямые не параллельны, иначе пары не будут пересекаться.
• Также предполагаем, что три прямые разные (не совпадают полностью).

Возможные случаи и ответы

1. Все три прямые проходят через одну общую точку (прямые конкурентны/конкурентны):

   • Точки пересечения: все пары пересекаются в одной и той же точке.
   • Количество точек пересечения: 1.
   • Обозначение: пусть L1, L2, L3 – прямые, пересекаются в общей точке O. Тогда L1∩L2 = L2∩L3 = L3∩L1 = {O}.

2. Прямые не проходят через одну общую точку (не конкурентны):

   • Каждая пара прямых пересекается в своей уникальной точке, а эти точки между собой различны.
   • Количество точек пересечения: 3.
   • Обозначение: A = L1∩L2, B = L2∩L3, C = L3∩L1. Тогда A, B, C – три разные точки.

Почему так?

• Всего есть три пары прямых: L1∩L2, L2∩L3, L3∩L1. По условию каждая пара пересекается, значит есть по крайней мере три точки пересечения.
• Эти три точки могут совпасть или нет:
  • если две совпадут, то все три прямые проходят через одну точку, следовательно 1 точка пересечения;
  • если ни одна пара точек не совпадает, получается три разные точки пересечения.

Как можно нарисовать на практике

• Для случая 1: проведите три разные прямые через одну точку O (например, как лучи, выходящие из O под разными углами). Это даст одну точку пересечения.
• Для случая 2: нарисуйте L1 произвольной прямой, затем проведите L2 так, чтобы она пересекала L1 в точке A. Затем проведите L3 так, чтобы она пересекала L1 в другой точке C и пересекала L2 в третьей точке B, отличной от A и C. Получатся три разных точки пересечения: A, B, C.

Кратко:

• Возможные количества точек пересечения трёх парных прямых: 1 или 3.
• 1 точка при общем concurrent (все через одну точку).
• 3 точки при отсутствии общей точки пересечения всех трёх прямых.