Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость В точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если; 1) АА, = 5 м, BB, = 7 м; 2) AA, = 3,6 дм, BB, = 4,8 дм; 3) AA, = 8,3 см, BB, = 4,1 см; 4) AA, = a, BB, = b.

Задача решается через свойство параллельной проекции на плоскость: через А, В и М проведены параллельные прямые к направлению d, пересекающие плоскость в точках A1, B1, M1 соответственно. Пусть AA1, BB1, MM1 — длины от точек до плоскости вдоль направления d. Ключевая идея - Поскольку A1, B1 и M1 получаются проектированием одного и того же отрезка AB вдоль одинакового направления, проекция является аффинным отображением. - Аффинные отображения сохраняют середины: если M — середина AB, то M1 — середина A1B1. - Значит M1 = (A1 + B1)/2 по векторам, и длин AA1, BB1, MM1 связаны так: A1 = A + AA1 · û, B1 = B + BB1 · û, M1 = M + MM1 · û, где û — единичный вектор направления параллельного переноса к плоскости. Из равенства серединства M1 = (A1 + B1)/2 получаем: M + MM1 · û = (A + AA1 · û + B + BB1 · û)/2 = (A + B)/2 + (AA1 + BB1)/2 · û. Так как M = (A + B)/2, следует MM1 = (AA1 + BB1)/2. Следовательно, длина отрезка MM1 равна половине суммы длин AA1 и BB1. Ответы по задачам 1) AA1 = 5 м, BB1 = 7 м MM1 = (5 + 7)/2 = 6 м 2) AA1 = 3,6 дм, BB1 = 4,8 дм Сумма = 8,4 дм, MM1 = 4,2 дм 3) AA1 = 8,3 см, BB1 = 4,1 см MM1 = (8,3 + 4,1)/2 = 6,2 см 4) AA1 = a, BB1 = b MM1 = (a + b)/2 (тот же размер в той же единице) Дополнение - Условие о том, что AB не пересекает плоскость, не влияет на формулу MM1 = (AA1 + BB1)/2; оно лишь гарантирует существование точек A1, B1 на плоскости при заданных прямых.