Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость В точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не…
Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость В точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если; 1) АА, = 5 м, BB, = 7 м; 2) AA, = 3,6 дм, BB, = 4,8 дм; 3) AA, = 8,3 см, BB, = 4,1 см; 4) AA, = a, BB, = b.
Задача решается через свойство параллельной проекции на плоскость: через А, В и М проведены параллельные прямые к направлению d, пересекающие плоскость в точках A1, B1, M1 соответственно. Пусть AA1, BB1, MM1 — длины от точек до плоскости вдоль направления d.
Ключевая идея
- Поскольку A1, B1 и M1 получаются проектированием одного и того же отрезка AB вдоль одинакового направления, проекция является аффинным отображением.
- Аффинные отображения сохраняют середины: если M — середина AB, то M1 — середина A1B1.
- Значит M1 = (A1 + B1)/2 по векторам, и длин AA1, BB1, MM1 связаны так: A1 = A + AA1 · û, B1 = B + BB1 · û, M1 = M + MM1 · û, где û — единичный вектор направления параллельного переноса к плоскости.
Из равенства серединства M1 = (A1 + B1)/2 получаем: M + MM1 · û = (A + AA1 · û + B + BB1 · û)/2 = (A + B)/2 + (AA1 + BB1)/2 · û. Так как M = (A + B)/2, следует MM1 = (AA1 + BB1)/2.
Следовательно, длина отрезка MM1 равна половине суммы длин AA1 и BB1.
Ответы по задачам
AA1 = 5 м, BB1 = 7 м MM1 = (5 + 7)/2 = 6 м
AA1 = 3,6 дм, BB1 = 4,8 дм Сумма = 8,4 дм, MM1 = 4,2 дм
AA1 = 8,3 см, BB1 = 4,1 см MM1 = (8,3 + 4,1)/2 = 6,2 см
AA1 = a, BB1 = b MM1 = (a + b)/2 (тот же размер в той же единице)
Дополнение
- Условие о том, что AB не пересекает плоскость, не влияет на формулу MM1 = (AA1 + BB1)/2; оно лишь гарантирует существование точек A1, B1 на плоскости при заданных прямых.
Обсуждение
2 сообщенияЧерез концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость В точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если; 1) АА, = 5 м, BB, = 7 м; 2) AA, = 3,6 дм, BB, = 4,8 дм; 3) AA, = 8,3 см, BB, = 4,1 см; 4) AA, = a, BB, = b. задачи 2 3 и 4
Давайте решим задачи 2, 3 и 4, используя тот же принцип, что и ранее.
2) AA1 = 3,6 дм, BB1 = 4,8 дм
Длина отрезка MM1 будет равна половине суммы длин AA1 и BB1:
\[ MM1 = \frac{AA1 + BB1}{2} = \frac{3,6 + 4,8}{2} = \frac{8,4}{2} = 4,2 \, \text{дм} \]
3) AA1 = 8,3 см, BB1 = 4,1 см
Аналогично, здесь:
\[ MM1 = \frac{AA1 + BB1}{2} = \frac{8,3 + 4,1}{2} = \frac{12,4}{2} = 6,2 \, \text{см} \]
4) AA1 = a, BB1 = b
Обобщая, длина отрезка MM1 будет:
\[ MM1 = \frac{AA1 + BB1}{2} = \frac{a + b}{2} \]
Таким образом, результаты:
2) 4,2 дм
3) 6,2 см
4) \(\frac{a + b}{2}\) (в той же единице измерения, что и a и b)
