Свойства степеней: * `aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ` * `aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ` (где `a ≠ 0`) * `(aᵐ)ⁿ = aᵐ*ⁿ` * `(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ` * `(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ` (где `b ≠ 0`)

Ниже подробное объяснение и доказательство всех указанных свойств степеней. Поскольку в условии не указаны предмет и класс, приведу общую для средней школы версию, понятную независимо от конкретного школьного курса. Важные условия записаны отдельно после каждого свойства. Общие замечания - Здесь предполагаются целые показатели степеней m и n: m, n ∈ Z. - a — действительное число. Для правил деления и возведения в отрицательные степени обычно требуется a ≠ 0 (и b ≠ 0 во втором случае). - 0^0 не определено; если в примерах встречается 0 в основание и положительная степень, то это 0; если есть отрицательная степень или деление на 0 — нельзя. - Для положительных степеней можно рассуждать как повторное умножение, для отрицательных — через обратное число (1 / a^k). 1) Свойство: a^m · a^n = a^{m+n} (при некоторых условиях) Что это означает: умножение степеней с тем же основанием складывает показатели. Обоснование: - Если m ≥ 0 и n ≥ 0: a^m = a·a·...·a (m раз), a^n = a·a·...·a (n раз). Умножая получаем a повторено (m+n) раз → a^{m+n}. - Если заданы отрицательные показатели: используем a^{-k} = 1 / a^k. Тогда a^m · a^n = a^{m+n} остаётся верным, если a ≠ 0. - Пример: 2^3 · 2^{-1} = 8 · (1/2) = 4 = 2^{2}. Замечания по ограничениям: если a = 0, правило работает только когда оба показателя положительные (0^m · 0^n = 0^{m+n} = 0, если m,n>0). Если хотя бы один из показателей ≤ 0, выражение может быть неопределённым. 2) Свойство: a^m / a^n = a^{m-n} (a ≠ 0) Что это означает: деление степеней с тем же основанием приводит к разности показателей. Обоснование: - a^m / a^n = a^m · a^{-n} (поскольку a^{-n} = 1 / a^n) = a^{m+(-n)} = a^{m-n}. - Пример: 3^5 / 3^2 = 243 / 9 = 27 = 3^{3}. Замечания по ограничениям: требование a ≠ 0, иначе деление на ноль не допускается. 3) Свойство: (a^m)^n = a^{m n} Что это означает: возведение степени в степень умножает показатели. Обоснование: - По определению (a^m)^n = a^m · a^m · ... · a^m (n раз) = a^{m+n+...+m} = a^{m n}. - Пример: (2^3)^4 = 8^4 = 4096, и 2^{3·4} = 2^{12} = 4096. Замечания: если n ≤ 0, нужно аккуратно использовать через обратное число: (a^m)^(-k) = 1 / (a^m)^k = a^{-mk} (при a ≠ 0). 4) Свойство: (a · b)^n = a^n · b^n Что это означает: возведение произведения в степень равно произведению возведённых в эту же степень отдельных множителей. Обоснование: - Если n ≥ 0: (ab)^n = ab · ab · ... · ab (n раз) = (a a ... a) · (b b ... b) = a^n · b^n. - Пример: (6 · 5)^3 = 30^3 = 27000; а 6^3 · 5^3 = 216 · 125 = 27000. - Для отрицательных n: применяем через обратное: (ab)^{-k} = 1 / (ab)^k = 1 / (a^k b^k) = a^{-k} b^{-k} = (a^n b^n) при n = -k. Здесь требуется a ≠ 0 и b ≠ 0. 5) Свойство: (a / b)^n = a^n / b^n (b ≠ 0) Что это означает: возведение дроби в степень равно дроби возведённых в эту же степень. Обоснование: - Если n ≥ 0: (a/b)^n = (a/b) · (a/b) · ... · (a/b) = (a^n) / (b^n). - Пример: (8/3)^2 = 64/9; а 8^2 / 3^2 = 64/9. - Для отрицательных n: (a/b)^{-k} = 1 / (a/b)^k = b^k / a^k = a^{-k} / b^{-k} = a^n / b^n при n = -k. Здесь требуются a ≠ 0 и b ≠ 0. Короткий итог (для запомнить): - a^m · a^n = a^{m+n} - a^m / a^n = a^{m-n}, при a ≠ 0 - (a^m)^n = a^{m n} - (a b)^n = a^n b^n - (a / b)^n = a^n / b^n, при b ≠ 0 Примеры упражнений (для закрепления): - Упростить: 5^2 · 5^{-3} = 5^{2-3} = 5^{-1} = 1/5. - Упростить: (x^4)^3 = x^{12}. - Упростить: (2x · 3x^2)^2? Применим: сначала (2x · 3x^2) = 6x^3; затем возвести в квадрат: (6x^3)^2 = 36 x^6. Можно разобрать по правилу (ab)^n = a^n b^n: (2x)^2 · (3x^2)^2 = 4x^2 · 9x^4 = 36 x^6. - Упростить: (a/b)^-2 = 1 / (a/b)^2 = b^2 / a^2. - Упростить: (ab)^3 = a^3 b^3. Если хочешь, могу привести больше примеров по конкретному предмету или классу (например, с акцентом на алгебру 7–9 класса), либо разобрать какие-либо задачи с конкретными числами и шагами.