Прямые A и B скрещивающиеся Докажите что через прямую B можно провести плоскость параллельную прямой а и только одну

Задача: Пусть прямые A и B скрещивающиеся. Докажите, что через прямую B можно провести плоскость, параллельную прямой A, и такая плоскость единственная. Пусть A и B — в трехмерном пространстве, их направления задаются векторами a и b. Так как прямые скрещивающиеся, они не параллельны и не пересекаются, значит a и b не коллинеарны и их векторное произведение a × b не равно нулю. Это означает, что существует плоскость, содержащая направление a и направление b, то есть плоскость с нормалью n = a × b. Доказательство существования и единственности плоскости через B и параллельной A: 1) Возьмём любую точку P на B и проведём через P прямую l, параллельную A (то есть direction(l) = a). 2) Прямые B и l пересекаются в точке P, потому что l построена через P. Любые две пересекающиеся прямые в пространстве лежат в одной плоскости, поэтому существует единственная плоскость π, которая содержит и B, и l. 3) Поскольку π содержит B и также содержит прямую l, параллельную A, в π содержится направление a. Следовательно A параллельна π (плоскость параллельна прямой, если в ней содержится прямая, параллельная этой прямой). 4) Чтобы убедиться в единственности, рассмотрим любую другую плоскость π′, содержащую B и параллельную A. Так как π′ содержит B, её направление включает b; так как π′ параллельна A, она також содержит направление a. Таким образом, π′ содержит две независимые направления a и b и, следовательно, совпадает с той же плоскостью π, которая содержит B и l. Значит π′ = π. Таким образом, через B проходит ровно одна плоскость, параллельная A. Дополнительное замечание (еквивалентное с точки зрения векторов): Плоскость π можно записать как множество точек X, удовлетворяющих n · (X − P) = 0, где n = a × b — нормаль к плоскости, и P — любая точка на B. Это подтверждает, что плоскость имеет фиксированную ориентацию (через B и параллельную A) и не зависит от выбора точки P на B. Итого: - Существование: существует плоскость π, содержащая B и содержащая направление a, т.е. параллельная A. - Единственность: такая плоскость единственная, поскольку её ориентацию задают направления a и b, и она тем самым определяется единственным образом.