1. Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта А в пункт В со скоростью 1, а из В в А - со скоростью 2, меньше либо равна (V1 + U2)/2.
Задача: доказать, что средняя скорость круговой поездки автобуса, если скорость туда v1, а обратно v2, удовлетворяет S_avg ≤ (v1 + v2)/2. для положительных v1, v2. Часто выражение записывают через скорости v1 и v2.
- Пусть расстояние между A и B равно d. Тогда:
- время в пути A → B: t1 = d / v1
- время в пути B → A: t2 = d / v2
- общее время T = t1 + t2 = d/v1 + d/v2
- совокупный пройденный путь за круговую поездку: S = 2d
Средняя скорость за весь путь равна S_avg = общий путь / общее время = 2d / (d/v1 + d/v2) = 2 / (1/v1 + 1/v2) = 2 v1 v2 / (v1 + v2)
Неравенство, которое нужно доказать: S_avg ≤ (v1 + v2)/2
Доказательство неравенства: Имеем 2 v1 v2 / (v1 + v2) ≤ (v1 + v2)/2
Умножим обе стороны на 2(v1 + v2), что положительно для v1 > 0 и v2 > 0: 4 v1 v2 ≤ (v1 + v2)^2 = v1^2 + 2 v1 v2 + v2^2
Переносим все в одну сторону: 0 ≤ v1^2 − 2 v1 v2 + v2^2 = (v1 − v2)^2
Это неравенство верно для любых положительных v1, v2, и равенство достигается тогда, когда v1 = v2.
- Пример с числами из условия (скорости v1 = 1, v2 = 2): S_avg = 2 · 1 · 2 / (1 + 2) = 4/3 ≈ 1.333 (вп двигается) AM = (v1 + v2)/2 = (1 + 2)/2 = 3/2 = 1.5
И действительно: 1.333 ≤ 1.5.
Вывод: для любых положительных скоростей v1 и v2 средняя скорость круговой поездки S_avg равна гармонической средней скоростей и всегда не превосходит арифметической средней (с равенством при v1 = v2). В вашем примере с v1 = 1 и v2 = 2 выполняется неравенство.
