Примеры высказываний по Вероятности и статистике

Ниже приведены примеры высказываний по вероятности и статистике. Для каждого высказывания указан ответ (истинно/ложно), краткое объяснение и простой числовой пример или пояснение. S1 Высказывание: Если A и B независимы, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B). Ответ: Истинно. Объяснение: для любых A,B верно P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). При независимости P(A∩B) = P(A)P(B), поэтому формула становится P(A) + P(B) − P(A)P(B). Пример: P(A)=0.5, P(B)=0.4 → P(A∪B)=0.5+0.4−0.2=0.7. S2 Высказывание: Если A и B независимы, то P(A|B) = P(A). Ответ: Истинно. Объяснение: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = [P(A)P(B)]/P(B) = P(A) (при P(B)>0). Пример: независимые эксперименты, например два последовательных броска монеты с независимыми исходами. S3 Высказывание: Если A и B несовместны (дисjoint), то P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Ответ: Истинно. Объяснение: если A∩B = ∅, то P(A∪B) = P(A) + P(B). S4 Высказывание: P(A|B) ≤ P(A) для любых A,B. Ответ: Ложно. Объяснение: это неверно в общем случае. Пример: пусть A = B. Тогда P(A|B) = 1, что может быть больше, чем P(A) (если P(A) < 1). S5 Высказывание: Для честной шестигранной кости вероятность получить чётное число равна 1/2. Ответ: Истинно. Объяснение: чётные числа на кости — 2,4,6 (3 варианта из 6), значит P = 3/6 = 1/2. S6 Высказывание: Вероятность выпадения орла на честной монете равна 1/2. Ответ: Истинно. Объяснение: два равновероятных исхода — орёл и решка. S7 Высказывание: Если подбрасывать монету 3 раза, математическое ожидание числа орлов равно 1.5. Ответ: Истинно. Объяснение: каждое подбрасывание даёт E(орёл) = 0.5; для 3 независимых подбрасываний сумма ожиданий: 3 × 0.5 = 1.5. S8 Высказывание: Количество орлов при трёх подбрасываниях монеты имеет дисперсию 0. Ответ: Ложно. Объяснение: для Bernoulli(p=0.5) в 3 повторностях X ~ Binomial(n=3,p=0.5). Var(X) = np(1−p) = 3×0.5×0.5 = 0.75. S9 Высказывание: Если X ~ Bin(n,p), то E[X] = np и Var(X) = np(1−p). Ответ: Истинно. Объяснение: это стандартные характеристики биномиального распределения. S10 Высказывание: Для n=10, p=0.5, P(X ≥ 6) = 0.5. Ответ: Ложно. Объяснение: при n=10 и p=0.5 распределение симметрично вокруг 5. P(X ≥ 6) ≈ 0.377 (приближённо). То есть не 0.5. S11 Высказывание: Закон больших чисел: выборочное среднее стремится к математическому ожиданию по мере роста размера выборки. Ответ: Истинно. Объяснение: при повторении независимых экспериментов и росте количества наблюдений среднее значение выборки приближается к истинному среднему. S12 Высказывание: Центральная предельная теорема говорит, что сумма независимых одинаково распределённых переменных всегда распределена нормально. Ответ: Ложно. Объяснение: ЦПТ говорит, что при достаточном размере выборки сумма (или среднее) tends к нормальному распределению, но не обязательно "всегда": требуется достаточно большой размер выборки и определённые условия. Формально это приближённая нормальность, а не строгая тождественность. Как пользоваться этим набором - Попробуй определить истинность каждого высказывания без подсчётов, затем проверь с объяснениями и примерами. - Для неверных высказываний попробуй привести корректную формулировку или пример, где условие выполняется. - Если хочешь, могу превратить эти примеры в задания-упражнения для твоего уровня: составить похожие утверждения и проверить их на практике.