Сократить дроби

Отлично, задача на Reduction of algebraic fractions (сокращение дробей). Я дам пошаговый алгоритм и решу те пункты, которые читаются на фото. Если нужно — можете прислать более чёткое изображение оставшихся пунктов, и я допишу решение для них.

Как сокращать алгебраические дроби (общий подход)

• Факторизуйте числитель и знаменатель.
• Найдите общие множители и отмените их (то, что присутствует в обоих местах).
• Учитывайте область допустимых значений: запреты на нули в исходной дроби (например, a ≠ 0, c ≠ 0 и т. д.; а также не забывайте про выражения типа a ± b, которые не должны быть равны нулю перед сокращением).
• В результате получится более простая дробь или выражение без общих множителей.

Ниже решения по тем пунктам, которые можно прочитать на фото (1–4-й и часть 5-го). Я внимательно записал шаги и условия для сокращения.

1. Сократите дробь a) 2a/3a

• числитель и знаменатель имеют общий множитель a: (2a)/(3a) = 2/3, при условии a ≠ 0.

b) 2b/2c

• вынесем общий множитель 2: (2b)/(2c) = b/c, при условии c ≠ 0 и b ≠ 0 по смыслу (хотя формально достаточно c ≠ 0).

c) ab/ac

• общий множитель a cancels: (ab)/(ac) = b/c, при условии a ≠ 0.

d) abc/ayc

• общий множитель a и c cancels: (abc)/(ayc) = b/y, при условиях a ≠ 0 и y ≠ 0.

2. Сократите дробь a) (a^2 − ab) / ac

• вынесем общий множитель a в числителе: a(a − b) / (a c) = (a − b)/c, при a ≠ 0 и c ≠ 0.

b) (a^2 − ab) / (a^2 + ab)

• числитель: a(a − b); знаменатель: a(a + b); сокращаем a: (a − b)/(a + b), при a ≠ 0 и a ≠ −b.

c) (a^2 − ab) / (a^2 − b^2)

• знаменатель факторизуется: (a − b)(a + b); числитель: a(a − b); после сокращения получаем a/(a + b), при a ≠ ±b.

d) (a^2 + ab) / (a^2 − b^2)

• числитель: a(a + b); знаменатель: (a − b)(a + b); сокращаем (a + b): a/(a − b), при a ≠ ±b.

3. Сократите дробь a) x^2/(x^2 − x)

• факторизуем знаменатель: x^2 − x = x(x − 1); числитель: x^2 = x·x; сокращаем на x: x/(x − 1), при x ≠ 0, x ≠ 1.

b) (x^2 − 1)/(x^2 − x)

• числитель: (x − 1)(x + 1); знаменатель: x(x − 1); сокращаем (x − 1): (x + 1)/x, при x ≠ 0 и x ≠ 1.

c) x^2/(x^2 + x)

• знаменатель: x(x + 1); числитель: x^2 = x·x; сокращаем на x: x/(x + 1), при x ≠ 0.

d) (x^2 − x)/x^2

• числитель: x(x − 1); знаменатель: x^2 = x·x; сокращаем на x: (x − 1)/x, при x ≠ 0.

4. Сократите дробь a) a/(am)

• сокращаем на a: 1/m, при a ≠ 0 и m ≠ 0.

b) (a − 3b)/(a^2 − 9b^2)

• знаменатель: (a − 3b)(a + 3b); сокращать можно только если есть общий множитель (a − 3b) в числителе, но в нашем виде он есть и равен (a − 3b). Тогда: (a − 3b) / [(a − 3b)(a + 3b)] = 1/(a + 3b), при a ≠ 3b и a ≠ −3b (чтобы знаменатель был не нулем).

c) pq/q

• сокращаем на q: p, при q ≠ 0.

d) (m^2 − 4n^2)/(m + 2n)

• знаменатель можно разложить как (m + 2n)(m − 2n); числитель — разность квадратов: (m − 2n)(m + 2n); сокращаем на (m + 2n): m − 2n, при m ≠ −2n и m ≠ 2n (чтобы знаменатель до сокращения не был нулем).

5. Сократите дробь a) (a^2 − 2ab + b^2)/(a − b)

• числитель — (a − b)^2; знаменатель (a − b); сокращаем: a − b, при a ≠ b.

b) (a^2 + 4ab + 4b^2)/(a + 2b)

• числитель — (a + 2b)^2; знаменатель — (a + 2b); сокращаем: a + 2b, при a ≠ −2b.

c) (a^2 − 2ab + b^2)/(a^2 − 4b^2)

• числитель — (a − b)^2; знаменатель — (a − 2b)(a + 2b); общих множителей нет в явном виде (при общих условиях a ≠ ±2b, a ≠ b), поэтому выражение можно оставить в виде сокращённого вида только в частном случае, когда есть общий фактор. В общем виде сокращения здесь нет.

d) (a^2 + 4ab + 4b^2)/(a^2 − 4b^2)

• числитель — (a + 2b)^2; знаменатель — (a − 2b)(a + 2b); сокращаем на (a + 2b): a + 2b / (a − 2b), при a ≠ ±2b.

Важно

• Для каждого сокращения нужно помнить ограничение: выражения в знаменателях не должны нулиться до сокращения. Часто это записывают как a ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ ±b и т. п., а после упрощения следует учитывать новые условия на недопустимость нулей уже в упрощённой дроби.
• В задачах с буквенными переменными (a, b, c, x, etc.) чаще пишут конкретные условия: a ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ ± b, и т. п.

Что дальше

• ЯSOL: могу дополнить недостающие пункты точно так же, если вы перепишете текст оставшихся пунктов или сделаете фото высокого качества для всей страницы. Сейчас я разобрал и дал решения по тем пунктам, которые читаются на фото (1–4 и часть 5).
• Если хотите, могу привести полный набор решений по всему листу в одном списке, когда вы подтвердите текст всех пунктов или пришлёте более чёткое изображение.

Готов продолжать сразу же, стоит только привести недостающие пункты текста.