X²-8x+9

Задача: x^2 - 8x + 9 Цель: понять и разобрать пошагово. Шаг 1. Попробуем разложить квадратный трёхчлен на множители вида (x - m)(x - n) Для этого нужно, чтобы выполнялись: - mn = 9 - m + n = 8 Проверим пары целых чисел, дающих mn = 9: (1, 9) и (3, 3). - 1 + 9 = 10, не равно 8 - 3 + 3 = 6, не равно 8 То есть над целыми числами разложение отсутствует. Шаг 2. Используем дискриминант для корней D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -8, c = 9. D = (-8)^2 - 4·1·9 = 64 - 36 = 28 Корни квадр. уравнения x^2 - 8x + 9 = 0: x = (8 ± √28) / 2 = (8 ± 2√7) / 2 = 4 ± √7 Шаг 3. Факторизация над реальными числами Имеем два корня: x1 = 4 + √7 и x2 = 4 - √7. Значит, разложение над R[x]: x^2 - 8x + 9 = (x - (4 + √7)) (x - (4 - √7)) Шаг 4. Альтернативно: завершение квадратом x^2 - 8x + 9 = (x^2 - 8x + 16) - 7 = (x - 4)^2 - 7 Это тоже показывает корни x = 4 ± √7. Шаг 5. Проверка Раскроем (x - (4 + √7))(x - (4 - √7)): x^2 - ( (4+√7) + (4-√7) )x + (4+√7)(4-√7) = x^2 - 8x + (16 - 7) = x^2 - 8x + 9. Проверка пройдена. Шаг 6. Числовая оценка корней (по желанию) √7 ≈ 2.6458 Корни ≈ 4 ± 2.6458 → около 6.6458 и 1.3542 Итого: - Разложение над целыми числами отсутствует. - Над действительными числами: x^2 - 8x + 9 = (x - (4 + √7))(x - (4 - √7)). - Также можно записать как (x - 4)^2 - 7.