Дан треугольник с координатами вершин А(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Вершина С треугольника лежит на положительной полуоси Oz. Найдите длину AB²-2 медианы СМ, если AB²/CB²=2/5
Решение задачі по шагам.
Дано: A(4, 0, 0), B(0, 4, 0). C лежит на положительной полуоси Oz, то есть C = (0, 0, z) с z > 0. M — середина отрезка AB. Из условия AB² / CB² = 2/5.
Найдём AB². AB = B − A = (−4, 4, 0), поэтому AB² = (−4)² + 4² + 0² = 16 + 16 = 32.
Пусть C = (0, 0, z). Тогда CB² = |B − C|² = (0 − 0)² + (4 − 0)² + (0 − z)² = 16 + z². По условию: AB² / CB² = 2/5 ⇒ 32 / (16 + z²) = 2/5. Перебор: 32 · 5 = 2 · (16 + z²) ⇒ 160 = 32 + 2z² ⇒ 2z² = 128 ⇒ z² = 64 ⇒ z = 8 (так как z > 0).
Следовательно, C = (0, 0, 8).
Найдём M — середину AB. M = ((4+0)/2, (0+4)/2, (0+0)/2) = (2, 2, 0).
Найдём CM. CM² = |M − C|² = (2−0)² + (2−0)² + (0−8)² = 2² + 2² + (−8)² = 4 + 4 + 64 = 72. Значит CM = √72 = 6√2.
Вычислим задачу: AB² − 2·CM. AB² = 32, CM = 6√2 ⇒ 2·CM = 12√2. Итого: AB² − 2·CM = 32 − 12√2.
Численно: 12√2 ≈ 16.97, поэтому примерно 32 − 16.97 ≈ 15.03.
Ответ: AB² − 2·CM = 32 − 12√2 (примерно 15.03).
