Испоьзуя свойства числовых неравенств докажите что заданная функция убывает: y=-2x2,x=>0

Задача: доказать, что функция y = -2x^2 убывает на области x ≥ 0.

Пояснение и решение:

1. Определение монотонности

• Функция f. убывает на интервале, если для любых a < b из этого интервала выполняется f(a) > f(b) (строгое убывание) или f(a) ≥ f(b) (невозрастающая). Здесь разберём строгое убывание: для любых 0 ≤ a < b должны выполняться f(a) > f(b).

2. Алгебраическое доказательство без дифференцирования

• Пусть 0 ≤ a < b.
• f(a) = -2a^2, f(b) = -2b^2.
• Разница: f(a) − f(b) = (-2a^2) − (-2b^2) = -2a^2 + 2b^2 = 2(b^2 − a^2) = 2(b−a)(b+a).
• Так как b > a ≥ 0, то b − a > 0 и b + a > 0, следовательно (b−a)(b+a) > 0, значит f(a) − f(b) > 0.
• Отсюда f(a) > f(b) для любого 0 ≤ a < b. Значит функция строго убывает на [0, ∞).

3. Альтернативное доказательство через производную

• f(x) = -2x^2. Тогда f′(x) = -4x.
• На области x ≥ 0 имеем f′(x) ≤ 0, причём f′(x) < 0 при x > 0.
• Следовательно функция не возрастает и строго убывает на любом интервале (0, ∞). В частности, на [0, ∞) для любых a < b выполняется f(a) > f(b).

Итог:

• Функция y = -2x^2 убывает на интервале x ≥ 0 (строго убывает на [0, ∞) в смысле: для любых 0 ≤ a < b выполняется y(a) > y(b)).