Реши задачи

Ниже по шагам разберу каждую задачу. 1) Треугольник ABC, D лежит на AB и AD = AC. Известны ∠CAB = 38°, ∠ACB = 74°. Найдите ∠DCB. - Найдём угол B Треугольника ABC: ∠B = 180° − (38° + 74°) = 68°. - Так как AD = AC, треугольник ADC равнобедрен: ∠ACD = ∠ADC = x. - В треугольнике ADC угол при A равен ∠DAC = ∠CAB = 38°. - Сумма углов в ADC: 38° + x + x = 180° → 2x = 142° → x = 71°. - ∠ACD = 71° — угол между CA и CD. В треугольнике ABC угол ∠ACB = 74° — между CA и CB. Учитывая, что CD лежит внутри угла ACB, имеем: ∠DCB = ∠ACB − ∠ACD = 74° − 71° = 3°. Ответ: 3°. 2) В треугольнике ABC углы A и C равны 30° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BN (из B на AC) и биссектрисой BD (из B на угол B). - Так как ∠A = 30°, ∠C = 60°, сумма углов даёт ∠B = 90°. Значит треугольник прямоугольный в B. - BD — биссектор угла B, поэтому BD лежит под углом 45° к каждой из сторон BA и BC. - BN — высота из B на гипотенузу AC, т.е. BN перпендикулярна AC. - Можно удобно посчитать через координаты или через тангенсы углов между линями. Рассмотрим простой подход с координатами: Пусть B = (0,0), A = (√3, 0), C = (0,1). Тогда ∠A = 30°, ∠C = 60°. Строим BN как перпендикулярную AC и BD как диагональ прямого угла: BD имеет наклон 1 (линия y = x), BN — наклон √3 (линия y = √3 x). Угол между линиями с наклонами m1 = 1 и m2 = √3 равен arctan(|(√3 − 1)/(1 + √3)|) = arctan(2 − √3). Поскольку 2 − √3 = tan 15°, этот угол равен 15°. Ответ: 15°. 3) В треугольнике ABC ∠C = 90°. M — середина стороны AB. Даны AB = 36, BC = 22. Найдите CM. - Так как ∠C = 90°, AB является гипотенузой. - В любом прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равно расстоянию до любой вершины, то есть M — центр описанной окружности, и CM = AM = BM = AB/2. - AB = 36, значит CM = AB/2 = 18. Ответ: 18.