Реши рациональную дробь x x-2

Выражение: f(x) = x / (x − 2) Пошаговое решение и объяснение 1) Упростить форму - Можно переписать как: x/(x−2) = (x−2+2)/(x−2) = 1 + 2/(x−2). - Это помогает увидеть поведение функции: горизонтальная асимптота y = 1 и вертикальная асимптота x = 2. 2) Область определения - Делитель не может равняться нулю: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2. - Следовательно, значение выражения определено для всех x, кроме x = 2. 3) Основные свойства графика - Вертикальная асимптота: x = 2. - Горизонтальная асимптота: y = 1 (из варианта f(x) = 1 + 2/(x−2)). - Нуль графика: x-координата, при которой f(x) = 0. Это достигается при числителе, равном нулю: x = 0. Значение f(0) = 0/(−2) = 0, так что точка пересечения с осью Ox: (0, 0). - Значения слева и справа от x = 2 имеют разный знак; можно подставлять примеры: - f(3) = 3/(3−2) = 3 - f(1) = 1/(1−2) = −1 - f(0) = 0 (как отмечено выше) - f(−2) = (−2)/(−4) = 1/2 4) Примеры конкретных значений - Для любого конкретного x (где x ≠ 2) можно посчитать f(x) по обычному правилу деления. 5) Решение уравнений вида f(x) = k (где k — заданное число) - Пусть x/(x−2) = k, где k — произвольное число. - Перепишем: x = kx − 2k → x − kx = −2k → x(1 − k) = −2k. - Если k ≠ 1: x = −2k / (1 − k) = 2k / (k − 1). - Если k = 1: уравнение даёт x = x − 2, что невозможно. Значит решений нет. - Пример: f(x) = 3 → x = 2·3/(3−1) = 6/2 = 3. Проверка: f(3) = 3/(3−2) = 3. 6) Вывод - Рациональная дробь x/(x−2) не может быть сокращена (за исключением записи в виде 1 + 2/(x−2)). - Её область определения: все x, кроме 2. - Для анализа поведения полезно использовать форму 1 + 2/(x−2): даёт ясную картину асимптот и знаков.