Из вершины прямого угла C прямоугольного отрезка ABC у которого угол B = 30°, AB = 36 см проведена высота CH Найдите длину отрезка HB

Задача: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C угол B = 30°, AB = 36 см. Опущена высота CH на гипотенузу AB. Найдите HB.

Пошаговое решение:

1. Определим стороны треугольника.

• Гипотенуза: AB = 36.
• Так как угол B = 30°, угол A = 60°.
• Против угла B сторона AC (перпендикулярная BC) является противолежащей B.

Используем синус и косинус для нахождения катетов:

• AC = AB · sin B = 36 · sin 30° = 36 · (1/2) = 18 см.
• BC = AB · cos B = 36 · cos 30° = 36 · (√3/2) = 18√3 см.

2. Связь между отрезками на гипотенузе и катетами через высоту CH. Для высоты, проведенной из вершины C к гипотенузе AB, выполняются соотношения:

• AH = AC² / AB
• HB = BC² / AB (это следует из подобий треугольников ACH ~ ACB и BCH ~ ABC; либо из того, что AH + HB = AB и AH = AC² / AB.)

3. Вычислим HB.

• HB = BC² / AB = (18√3)² / 36 = (324 · 3) / 36 = 972 / 36 = 27 см.

Ответ: HB = 27 см.