сравнить числа а) n + √10 и 4+√11 б) √3+√6 и 2+√5

Задача: сравнить пары чисел.

1. а) Сравнить n + √10 и 4 + √11

• Обозначим разность D = (n + √10) − (4 + √11) = (n − 4) + (√10 − √11) = (n − 4) − (√11 − √10).

• Число √11 − √10 положительное и примерно равно 0.1543.

• Значит знак D зависит от того, превышает ли n − 4 число √11 − √10 ≈ 0.1543.

  • Если n > 4 + (√11 − √10) ≈ 4.1543, то D > 0 и n + √10 > 4 + √11.
  • Если n < 4 + (√11 − √10) ≈ 4.1543, то D < 0 и n + √10 < 4 + √11.
  • При равенстве n = 4 + √11 − √10 (примерно n ≈ 4.1543) числа равны.

• Для целого n (как обычно в задачах):

  • n ≥ 5: n + √10 > 4 + √11.
  • n ≤ 4: n + √10 < 4 + √11.
  • равенства не бывает при целых n, так как правая и левая части равенства требуют n быть нецелым.

Коротко: а) левее больше, чем правая, если n ≥ 5; иначе меньше.

2. б) Сравнить √3 + √6 и 2 + √5

• Пусть A = √3 + √6, B = 2 + √5. Оценим через квадраты.
• A^2 = (√3 + √6)^2 = 3 + 6 + 2√18 = 9 + 6√2.
• B^2 = (2 + √5)^2 = 4 + 5 + 4√5 = 9 + 4√5.
• Сравниваем: A^2 < B^2 эквивалентно 6√2 < 4√5, то есть 3√2 < 2√5.
• Возьмём квадраты ещё раз: (3√2)^2 = 18, (2√5)^2 = 20, и обе стороны неотрицательные, поэтому 3√2 < 2√5 верно.
• Следовательно A^2 < B^2, значит A < B (так как A,B > 0).

Итого: √3 + √6 < 2 + √5.

Дополнительно можно проверить приблизительно:

• √3 + √6 ≈ 1.732 + 2.449 = 4.1815
• 2 + √5 ≈ 2 + 2.236 = 4.2360 Разница примерно 0.0545 в пользу 2 + √5.