f (x) =- 3x²+10

Задача: f(x) = -3x^2 + 10

Это квадратичная функция. Коэффициенты: a = -3, b = 0, c = 10.

Пошаговое разбор и объяснения:

1. Вершина и ось симметрии

• Формула для вершины параболы в общей форме f(x) = ax^2 + bx + c: h = -b/(2a), k = f(h).
• Здесь b = 0, поэтому h = -0/(2·-3) = 0.
• k = f(0) = -3·0^2 + 10 = 10.
• Вершина параболы в точке (h, k) = (0, 10).
• Ось симметрии: x = h = 0.

2. Направление ветвей и область значений

• a = -3 < 0, значит парабола открывается вниз.
• Домейн: все действительные числа R.
• Область значений (range): (-∞, 10], т.к. максимальное значение функции достигается в вершине и равно 10.

3. Пересечения с осями координат

• Пересечение с осью y (y-перехват): при x = 0, f(0) = 10. Точка (0, 10).
• Пересечение с осью x (x-пересечения): ищем корни из -3x^2 + 10 = 0.
  • 3x^2 = 10 → x^2 = 10/3 → x = ±√(10/3).
  • Примерные значения: √(10/3) ≈ 1.825.
  • Значит точки пересечения с x-осью: x ≈ -1.825 и x ≈ 1.825, то есть корни ±√(10/3).

4. Вершинная форма

• Нормальная форма f(x) = a(x - h)^2 + k, где h = 0, k = 10, a = -3.
• Таким образом: f(x) = -3(x - 0)^2 + 10 = -3x^2 + 10.
• Графически это та же парабола, просто вид в форме гравировки: вершина в (0, 10), ветви вниз, растяжение по оси y в масштабе |a| = 3.

5. Простейшие вычисления и примеры

• Значение при некоторых точках:
  • f(1) = -3·1^2 + 10 = 7
  • f(-1) = -3·(-1)^2 + 10 = 7
  • f(2) = -3·4 + 10 = -2
• Максимум функции достигается в вершине: f(0) = 10.

6. Применение и примеры задач

• Если нужно найти область, где f(x) ≥ 0: -3x^2 + 10 ≥ 0 → x^2 ≤ 10/3 → |x| ≤ √(10/3) ≈ 1.825.
• Если нужно записать график: начните с вершины (0, 10), проведите ось симметрии x = 0, отметьте корни примерно ±1.825 и проведите ветви вниз.

Итого

• Вершина: (0, 10)
• Ось симметрии: x = 0
• Направление: вниз (парабола открывается вниз)
• Корни: x = ±√(10/3) ≈ ±1.825
• Область значений: (-∞, 10]
• Хорошая проверка: f(0) = 10, f(±1) = 7, f(±2) = -2

Если нужно, могу привести график или помочь решить конкретную задачу на этой функции (например, неравенство, график в чертеже, или найти касательную в заданной точке).