1,5(23)=1,523232323... пусть:x=1,5232323.../•10 10x=15,232323...
Задача: 1,5(23) = 1,5232323... Найти точное значение.
Пояснение по обозначениям: 1,5(23) означает число 1.5 23 23 23... — после десятичной точки есть одна не повторяющаяся цифа 5, затем повторяется блок 23.
Обозначим x = 1,5232323... (то есть x = 1,5(23)).
Поскольку после запятой одна не повторяющаяся цифа (5), умножим на 10: 10x = 15,232323...
Выразим x через 10x: 10x - x = 9x = 15,232323... - 1,5232323... = 13,7090909...
Прямо возьмём дробную часть 0,7090909... и найдем её точное значение. Пусть y = 0,7090909... Тогда 100y = 70,909090... => 100y - y = 99y = 70,909090... - 0,7090909... = 70,2 => y = 70,2 / 99 = 702/990 = 39/55.
Значит 13,7090909... = 13 + 39/55 = (13·55 + 39)/55 = 754/55.
Подставим в уравнение 9x = 13,7090909...: 9x = 754/55 x = (754/55) / 9 = 754/495.
Итог: x = 754/495. Это несократимая дробь (проверка: gcd(754,495) = 1).
Дополнительно:
- При необходимости можно привести к десятичной примерно: x ≈ 1,5232323... (как и задано в исходной записи).
- Альтернатива метода: можно было бы выбрать другой масштаб (например, умножать на 10 и на 100, затем вычитать) — получится тот же результат.
