√17

Задача: вычислить √17.

Коротко: корень из 17 — это число, квадрат которого равен 17. 17 не является квадратом целого числа, поэтому √17 иррационален и не может быть записан как дробь с конечной десятичной точностью.

Пошаговое решение и приближённое значение

1. Граница

• 4^2 = 16, 5^2 = 25, значит √17 находится между 4 и 5.

2. Метод Ньютона (для численного приближения)

• Решаем уравнение x^2 = 17. Пусть f(x) = x^2 − 17. Итерационная формула: x_{n+1} = (x_n + 17/x_n)/2.
• Выбираем начальное приближение x0 = 4 (поскольку оно близко к корню).
• Итерируем:
  • x1 = (4 + 17/4)/2 = (4 + 4.25)/2 = 4.125
  • x2 = (4.125 + 17/4.125)/2 ≈ (4.125 + 4.121212...)/2 ≈ 4.123106
  • x3 ≈ (4.123106 + 17/4.123106)/2 ≈ 4.123105626
• Уже на третьей итерации значение стабилизировалось на нескольких десятичных знаках.

3. Итог

• √17 ≈ 4.123105626...
• Округления:
  • до 6 знаков после запятой: 4.123106
  • до 9 знаков после запятой: 4.123105626

Проверка (приближённая)

• 4.123105626^2 ≈ 17.000000000 примерно, то есть приближение очень точное.

Дополнительная заметка

• Можно получитьDigits через метод деления корня, но для большинства задач в средней школе достаточно упомянутого метода Ньютона и проверки по квадратам соседних целых чисел.