Свойства параллелограмма

Задача относится к геометрии средней школы. Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Ниже разбор каждого утверждения.

1. Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны.

• Доказательство: Пусть ABCD — такой четырехугольник, где AB = CD и BC = AD. Рассматриваем треугольники ABC и CDA. Они имеют общую сторону AC и стороны AB = CD, BC = AD, следовательно треугольники ABC и CDA равны по признаку SSS. Тогда углы ABC и CDA соответствуют и равны, а также углы ACB и CAD равны. Это означает, что AB ∥ CD и BC ∥ AD. Значит ABCD — параллелограмм. Следовательно утверждение верно.

2. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

• По определению: параллелограмм — это четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Утверждение верно.

3. Противоположные стороны параллелограмма равны.

• Свойство параллелограмма: противоположные стороны равны по длине (AB = CD и BC = AD). Утверждение верно.

4. Противоположные углы параллелограмма равны.

• Свойство параллелограмма: противоположные углы равны (∠A = ∠C и ∠B = ∠D). Утверждение верно.

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

• В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам: каждая диагональ делится точкой пересечения на отрезки равной длины. Утверждение верно.

Итого: все пять утверждений верны.

Краткое резюме для задачи:

• Определение параллелограмма: противоположные стороны параллельны.
• Вне зависимости от того, какие из условий заданы (попарно равны стороны, или попарно параллельны стороны), мы приходим к тому, что фигура — параллелограмм.
• В параллелограмме выполняются следующие ключевые свойства: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, диагонали бисектируют и пересекаются в их серединах. Если нужно, могу привести формулы площади и диагоналей и решить пример с числами.