\[ S = \sqrt{\sin 2\varphi} \]

Цель: понять и подробно решить выражение S = sqrt(sin 2φ).

Пошаговое решение и пояснения

1. Важное ограничение по области определения

• Под корнем должна быть неотрицательная величина: sin(2φ) ≥ 0.
• Значение синуса лежит в диапазоне [-1, 1], поэтому возможны только случаи, когда sin(2φ) ∈ [0, 1].

2. Диапазон значений S

• Так как S = sqrt(sin(2φ)) и sin(2φ) ∈ [0, 1], получаем:
  • sin(2φ) может варьироваться от 0 до 1.
  • Следовательно, S ∈ [0, 1].
• Максимум S достигается тогда, когда sin(2φ) = 1, т.е. S_max = 1.
• Минимум S достигается, когда sin(2φ) = 0, т.е. S_min = 0.

3. Уточнение области φ (где S реально существует)

• sin(2φ) ≥ 0 эквивалентно тому, что 2φ принадлежит интервалам [2πk, π + 2πk], где k — целое число.
• Разделив на 2: φ ∈ [πk, π/2 + πk], k ∈ Z.
• В этих интервалах S определён и принимает значения из [0, 1]. За пределами них sin(2φ) < 0, и вещественный S не существует.

4. Связь через двойной угол

• Можно записать sin(2φ) через синусы и косинусы: sin(2φ) = 2 sinφ cosφ.
• Тогда S = sqrt(2 sinφ cosφ). Но помните: чтобы эта запись была корректной в пределах домена, внутри sqrt должна быть неотрицательное число; это выполняется там, где sin(2φ) ≥ 0.

5. Несколько примеров для наглядности

• φ = 0: sin(0) = 0 → S = 0.
• φ = π/4: sin(2 · π/4) = sin(π/2) = 1 → S = 1.
• φ = π/3: sin(2π/3) = √3/2 ≈ 0.866 → S ≈ sqrt(0.866) ≈ 0.93.
• φ вне допустимой области, например φ = π: sin(2π) = 0 → S = 0.

6. Итоги

• Область существования вещественного S: φ ∈ ⋃k∈Z [πk, π/2 + πk].
• Значения S лежат в диапазоне [0, 1].
• Максимум S = 1 достигается при φ = π/4 + kπ.
• Минимум S = 0 достигается при φ = kπ и φ = π/2 + kπ.

Если нужно, могу решить конкретные примеры или объяснить, как решить уравнение S = a для заданного a ∈ [0, 1].