\[ S = \sqrt{\sin 2\varphi} \]

Цель: понять и подробно решить выражение S = sqrt(sin 2φ). Пошаговое решение и пояснения 1) Важное ограничение по области определения - Под корнем должна быть неотрицательная величина: sin(2φ) ≥ 0. - Значение синуса лежит в диапазоне [-1, 1], поэтому возможны только случаи, когда sin(2φ) ∈ [0, 1]. 2) Диапазон значений S - Так как S = sqrt(sin(2φ)) и sin(2φ) ∈ [0, 1], получаем: - sin(2φ) может варьироваться от 0 до 1. - Следовательно, S ∈ [0, 1]. - Максимум S достигается тогда, когда sin(2φ) = 1, т.е. S_max = 1. - Минимум S достигается, когда sin(2φ) = 0, т.е. S_min = 0. 3) Уточнение области φ (где S реально существует) - sin(2φ) ≥ 0 эквивалентно тому, что 2φ принадлежит интервалам [2πk, π + 2πk], где k — целое число. - Разделив на 2: φ ∈ [πk, π/2 + πk], k ∈ Z. - В этих интервалах S определён и принимает значения из [0, 1]. За пределами них sin(2φ) < 0, и вещественный S не существует. 4) Связь через двойной угол - Можно записать sin(2φ) через синусы и косинусы: sin(2φ) = 2 sinφ cosφ. - Тогда S = sqrt(2 sinφ cosφ). Но помните: чтобы эта запись была корректной в пределах домена, внутри sqrt должна быть неотрицательное число; это выполняется там, где sin(2φ) ≥ 0. 5) Несколько примеров для наглядности - φ = 0: sin(0) = 0 → S = 0. - φ = π/4: sin(2 · π/4) = sin(π/2) = 1 → S = 1. - φ = π/3: sin(2π/3) = √3/2 ≈ 0.866 → S ≈ sqrt(0.866) ≈ 0.93. - φ вне допустимой области, например φ = π: sin(2π) = 0 → S = 0. 6) Итоги - Область существования вещественного S: φ ∈ ⋃k∈Z [πk, π/2 + πk]. - Значения S лежат в диапазоне [0, 1]. - Максимум S = 1 достигается при φ = π/4 + kπ. - Минимум S = 0 достигается при φ = kπ и φ = π/2 + kπ. Если нужно, могу решить конкретные примеры или объяснить, как решить уравнение S = a для заданного a ∈ [0, 1].