Решить

Вот решение части a) с использованием метода введения новой переменной.

Задача: x^4 − 2x^2 − 8 = 0

1. Введём новую переменную

• Пусть t = x^2. Тогда уравнение преобразуется в квадратное относительно t: t^2 − 2t − 8 = 0

2. Решим квадратное уравнение для t

• Дискриминант: D = (-2)^2 − 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36
• Корни: t = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2
  • t1 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
  • t2 = (2 − 6)/2 = (-4)/2 = -2

3. Обратим внимание на ограничение t

• По определению t = x^2, поэтому t ≥ 0. Следовательно, t2 = -2 не подходит.
• Разрешим только t = 4: x^2 = 4

4. Найдём x

• x^2 = 4 ⇒ x = ±2

Ответ: x ∈ { -2, 2 }.

Примечание: можно проверить подстановкой: для x = ±2 левая часть равна 0. Также можно заметить, что уравнение можно разложить на множители (x^2 − 4)(x^2 + 2) = 0, что даёт тот же ответ через тот же шаг x^2 = 4.