дискриминант

Хорошо. Разберём дискриминант подробно и пошагово.

Что такое дискриминант

• Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 (где a ≠ 0) дискриминант D (или Δ) равен D = b^2 − 4ac.
• Значение D определяет количество и вид корней:
  • D > 0: два различных вещественных корня.
  • D = 0: один двойной вещественный корень.
  • D < 0: два комплексных корня (нет вещественных корней).

Почему так работает (коротко через вывод)

• Пусть корни уравнения x1 и x2. Тогда по теореме Вейерштрасса:
  • x1 + x2 = −b/a
  • x1x2 = c/a
• Разность корней связана с дискриминантом: (x1 − x2)^2 = (x1 + x2)^2 − 4x1x2.
• Подставив суммы и произведение корней и разделив на a^2, получаем: (x1 − x2)^2 = D / a^2. Поскольку a^2 > 0, знак D отвечает за знак (x1 − x2)^2 и значит то же самое о количестве вещественных корней.

Как посчитать и интерпретировать

1. Определите a, b, c из уравнения (a должен быть не нулем).
2. Вычислите D = b^2 − 4ac.
3. Интерпретируйте результат D:
   • если D > 0: два разных вещественных корня x1 и x2 = (−b ± sqrt(D)) / (2a).
   • если D = 0: один корень x = −b / (2a).
   • если D < 0: вещественных корней нет; корни комплексные: x = (−b ± i sqrt(|D|)) / (2a).

Примеры

Пример 1 Уравнение: x^2 − 3x + 2 = 0

• a = 1, b = −3, c = 2
• D = (−3)^2 − 4·1·2 = 9 − 8 = 1
• D > 0, корни: x1,2 = [3 ± sqrt(1)] / 2 = (3 ± 1)/2 → x1 = 2, x2 = 1
• Проверка: подстановка даёт 0.

Пример 2 Уравнение: x^2 + 4x + 4 = 0

• a = 1, b = 4, c = 4
• D = 4^2 − 4·1·4 = 16 − 16 = 0
• D = 0, корень: x = −b/(2a) = −4/2 = −2

Пример 3 Уравнение: 2x^2 + x + 1 = 0

• a = 2, b = 1, c = 1
• D = 1^2 − 4·2·1 = 1 − 8 = −7
• D < 0, вещественных корней нет; комплексные: x = [−1 ± i sqrt(7)] / 4

Полезные замечания

• Если a = 0, то это не квадратное уравнение, а линейное: bx + c = 0. Тогда решаем как линейное, дискриминант тут не применяется.
• Если D является квадратом целого числа и коэффициенты целые, можно чаще разложить на множители (факторизация): например D = 1 даёт простые корни.
• Показатель D можно использовать для быстрого выбора метода решения: факторыция, квадратное дополнение или формула корней.

Практические задания для тренировки Попробуйте посчитать D и корни для следующих уравнений:

1. 3x^2 − 5x + 2 = 0
2. x^2 − 6x + 9 = 0
3. 4x^2 + 4x + 1 = 0
4. 5x^2 − 2x + 3 = 0 (проверьте, есть ли вещественные корни)

Если хотите, могу разобрать каждое из этих уравнений пошагово и показать решение с вычислениями.