"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."
Классно, давай разберёмся шаг за шагом.
Что за уравнение на самом деле Из правильного решения видно, что речь идёт о логарифме с основанием x−1: log_{x−1} 81 = 2.
Условия и ограничения Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: x − 1 > 0 и x − 1 ≠ 1, то есть x > 1 и x ≠ 2.
Применяем определение логарифма log_{b} a = c эквивалентно b^c = a, где b > 0 и b ≠ 1. Здесь b = x − 1, a = 81, c = 2. Значит: (x − 1)^2 = 81.
Решаем квадратное уравнение x − 1 = 9 или x − 1 = −9 → x = 10 или x = −8.
Проверяем условия домена Из условия x > 1 и x ≠ 2 остаётся только x = 10. x = −8 не подходит, потому что база x−1 = −9 не допустима (логарифм с отрицательным основанием запрещён).
Проверка Для x = 10 база 9: log_9 81 = 2, что верно.
Итог: правильный ответ — 10.
Почему твой ответ 11 неверен
- Корни решаются из (x−1)^2 = 81, даёт x = 10 или x = −8. Но x = −8 не удовлетворяет условию x > 1 (и основание логарифма должно быть положительным и не равным 1). Поэтому единственный допустимый корень — x = 10.
- 11 бы давал основание x−1 = 10, и log_{10} 81 не равен 2 (поскольку 10^2 = 100, не 81).
Хочешь, потренируемся на ещё паре вариантов с разными основаниями логарифмов? Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.
