. Треугольник АВС равносторонний. AC – основание. Точки К , L , М- середины сторон АВ , ВС и АС соответственно . Докажите, что треугольники АКМ и МLC равны.

Решение по шагам Дано: треугольник ABC равносторонний, AC — основание. Точки K, L, M — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Нужно доказать, что треугольники AKM и MLC равны (конгруентны). 1) С введением свойств середины - AK = KB = AB/2 (K — середина AB) - BL = LC = BC/2 (L — середина BC) - AM = MC = AC/2 (M — середина AC) 2) Свойства равностороннего треугольника AB = BC = CA, поэтому AB/2 = BC/2 = CA/2. 3) Сравнение длин сторон треугольников AKM и MLC - AK = LC потому что AK = AB/2 и LC = BC/2, а AB = BC. - AM = MC потому что AM = MC = AC/2. - KM = ML. По теореме о средней линии: KM — середина стороны, соединяющая середины AB и AC, значит KM ∥ BC и KM = BC/2. Аналогично ML — середина AC и BC, ML ∥ AB и ML = AB/2. Так как AB = BC, получаем KM = ML. 4) Приведение к условию конгруэнтности У нас есть три пары равных сторон: AK = LC, KM = ML, AM = MC. Следовательно, треугольники AKM и C L M (а значит и AKM и MLC) конгруентны по признаку три стороны (SSS). Соответственно AKM ≅ MLC. Дополнительно замечание (по желанию): можно заметить, что соответствие вершин можно задать так: A ↔ C, K ↔ L, M ↔ M, что согласуется с сопоставлением сторон AK ↔ CL, KM ↔ ML, AM ↔ CM.