. Треугольник АВС равносторонний. AC – основание. Точки К , L , М- середины сторон АВ , ВС и АС соответственно . Докажите, что треугольники АКМ и МLC равны.

Решение по шагам

Дано: треугольник ABC равносторонний, AC — основание. Точки K, L, M — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Нужно доказать, что треугольники AKM и MLC равны (конгруентны).

1. С введением свойств середины

• AK = KB = AB/2 (K — середина AB)
• BL = LC = BC/2 (L — середина BC)
• AM = MC = AC/2 (M — середина AC)

2. Свойства равностороннего треугольника AB = BC = CA, поэтому AB/2 = BC/2 = CA/2.

3. Сравнение длин сторон треугольников AKM и MLC

• AK = LC потому что AK = AB/2 и LC = BC/2, а AB = BC.
• AM = MC потому что AM = MC = AC/2.
• KM = ML. По теореме о средней линии: KM — середина стороны, соединяющая середины AB и AC, значит KM ∥ BC и KM = BC/2. Аналогично ML — середина AC и BC, ML ∥ AB и ML = AB/2. Так как AB = BC, получаем KM = ML.

4. Приведение к условию конгруэнтности У нас есть три пары равных сторон: AK = LC, KM = ML, AM = MC. Следовательно, треугольники AKM и C L M (а значит и AKM и MLC) конгруентны по признаку три стороны (SSS). Соответственно AKM ≅ MLC.

Дополнительно замечание (по желанию): можно заметить, что соответствие вершин можно задать так: A ↔ C, K ↔ L, M ↔ M, что согласуется с сопоставлением сторон AK ↔ CL, KM ↔ ML, AM ↔ CM.